一、概念

1. 什么是频谱？

• 频谱描述了信号在不同频率上的能量分布
• 对于一个周期信号，其频谱通常是离散的，由一系列离散的频率成分组成

2. 周期信号与傅里叶级数

• 周期信号可以用傅里叶级数展开，表示为无数个正弦和余弦（或指数形式）的加权和
• 这些正弦和余弦对应着信号的频率成分，其幅度和相位由傅里叶系数决定

二、周期信号的频谱分析

1. 傅里叶级数复指数形式

对于周期为 T 的信号 x(t)，其傅里叶级数的复指数形式为：
                        ​​​​​​​        

其中：

• ω0=2π/T 是信号的基频角速度。
  • cn 是复数形式的傅里叶系数，计算公式为：
    ​​​​​​​​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​  

2. 频谱的表示

• 幅度谱（Amplitude Spectrum）：表示各频率分量的幅度，∣cn∣
• 相位谱（Phase Spectrum）：表示各频率分量的相位，∠cn

三、周期矩形脉冲的频谱

1. 周期矩形脉冲信号的定义

考虑一个周期为 T 的矩形脉冲信号 x(t)，在每个周期内，脉冲宽度为 τ（τ<T），幅值为 A：

• 在 −τ/2<t<τ/2 时，x(t)=A
• 在其他时间，x(t)=0

示意图：

A  ──┐      ┌──
     │      │
     │      │
0 ───┼──────┼─────
    -τ/2    τ/2

2. 计算傅里叶系数 cn
        ​​​​​​​        

利用欧拉公式：
        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

所以：
        ​​​​​​​        ​​​​​​​ 

进一步整理，定义 Dirichlet 核心函数（归一化的 sinc 函数）：
        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

因此：
        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

3. 幅度谱和相位谱

• 幅度谱：
          ​​​​​​​        ​​​​​​​        

• 相位谱：

  • 由于 cn 为实数，当 sin⁡(nω0τ/2) 为正时，cn 为正；为负时，cn 为负
  • 因此，相位为 0 或 π

四、代码实现与频谱绘制

为了更直观地理解周期矩形脉冲的频谱，这里使用 Python 编写代码，计算并绘制其幅度谱和相位谱

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
A = 1       # 脉冲幅值
T = 1       # 信号周期
tau = 0.2   # 脉冲宽度（占空比D = tau / T）
N = 20      # 计算的谐波数量

omega0 = 2 * np.pi / T  # 基频角速度
n = np.arange(-N, N+1)  # 谐波次数

# 计算傅里叶系数 c_n
def sinc(x):
    return np.sinc(x / np.pi)  # numpy 的 sinc 函数定义为 sin(πx)/(πx)

cn = A * tau / T * sinc(n * omega0 * tau / 2)

# 计算幅度谱和相位谱
amplitude = np.abs(cn)
phase = np.angle(cn)

# 绘制幅度谱
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.stem(n, amplitude, basefmt=" ")
plt.title('周期矩形脉冲的幅度谱')
plt.xlabel('谐波次数 n')
plt.ylabel('幅度 |cₙ|')
plt.grid(True)
plt.show()

# 绘制相位谱
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.stem(n, phase, basefmt=" ")
plt.title('周期矩形脉冲的相位谱')
plt.xlabel('谐波次数 n')
plt.ylabel('相位 ∠cₙ (弧度)')
plt.grid(True)
plt.show()

解释

• 参数设置：

  • A：矩形脉冲的幅值
  • T：信号的周期
  • tau：脉冲宽度
  • N：计算的谐波数量（正负方向各 N 个，一共 2N + 1 个谐波）

• 计算傅里叶系数：

  • 使用定义的 sinc 函数来计算傅里叶系数 cn

• 绘制幅度谱和相位谱：

  • 使用 plt.stem 函数绘制离散谱线

运行结果

• 幅度谱：显示了各个谐波分量的幅度，呈现出中心对称的分布，幅度随着谐波次数的增加而衰减
• 相位谱：相位谱只取 0 或 π，对应于傅里叶系数的正负

幅度图：

相位图：

五、深入理解

1. 占空比对频谱的影响

• 占空比 D=τT：表示脉冲在一个周期内的持续时间比例
• 当占空比变化时，频谱的形状也会相应变化
• 代码修改：可以尝试改变 tau 的值，观察频谱的变化

2. 谐波分量的特性

• 主瓣和旁瓣：幅度谱的中心部分称为主瓣，远离中心的部分称为旁瓣
• sinc 函数的性质：主瓣宽度与脉冲宽度成反比，脉冲越窄，主瓣越宽，频谱越宽

3. 时域与频域的关系

• 时域缩短，频域拉宽：窄脉冲在频域上占据更宽的频带
• 时域宽化，频域变窄：脉冲宽度增加，频谱集中在低频部分

六、周期信号的功率

1. 功率的定义

对于周期信号，其功率定义为平均功率，即在一个周期内的能量平均值。对于周期信号 x(t) ，其平均功率 P 定义为：
        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

其中：

• T 是信号的周期
• t0 是时间起点，通常可取任意值，因为周期信号的功率计算与时间起点无关

2. 周期矩形脉冲信号的功率

对于周期矩形脉冲信号，我们可以计算其平均功率。

(1) 周期矩形脉冲信号的表达式

如前所述，周期矩形脉冲信号 x(t) 定义为：

• 在 −τ/2<t<τ/2 ，x(t)=A
• 在其他时间，x(t)=0

其中：

• A 是脉冲幅值
• τ 是脉冲宽度（持续时间）
• T 是信号周期，τ<T

(2) 平均功率的计算

根据功率定义，平均功率 P 为：

物理意义：

• 占空比 D=τT 表示脉冲在一个周期内的持续时间比例
• 因此，平均功率可表示为 P=A²D

3. 时域功率与频域功率的关系（Parseval 定理）

Parseval 定理建立了信号在时域和频域中的功率关系。对于周期信号，其在一个周期内的平均功率等于其傅里叶系数平方的和：
        ​​​​​​​        

cn 是信号的傅里叶系数（后面填坑）