1+1

=(sin⁡π2−sin⁡0)+(cos⁡0−cos⁡π2)=(sin2π​−sin0)+(cos0−cos2π​)

=sin⁡x∣0π2+cos⁡x∣π20=sinx∣02π​​+cosx∣2π​0​

=∫0π2cos⁡xdx+∫π20(−sin⁡x)dx=∫02π​​cosxdx+∫2π​0​(−sinx)dx

=∫0π2(cos⁡x+sin⁡x)dx=∫02π​​(cosx+sinx)dx

=∫0π22sin⁡(x+π4)dx=∫02π​​2​sin(x+4π​)dx

=−2cos⁡(x+π4)∣0π2=−2​cos(x+4π​)∣02π​​

=−2 [cos⁡(π2+π4)−cos⁡π4]=−2​ [cos(2π​+4π​)−cos4π​]

=−2(−sin⁡π4−cos⁡π4)=−2​(−sin4π​−cos4π​)

=2 (sin⁡π4+cos⁡π4)=2​ (sin4π​+cos4π​)

=2×2sin⁡(π4+π4)=2​×2​sin(4π​+4π​)

=2sin⁡[π4(1+1)]=2sin[4π​(1+1)]

小结：1+1=2sin⁡[π4(1+1)]1+1=2sin[4π​(1+1)]

令 x=1+1x=1+1：

则 x=2sin⁡(π4x)x=2sin(4π​x)

使用图像法：

y=xy=x

y=2sin⁡(π4x)y=2sin(4π​x)

x=−2，0，2x=−2，0，2

所以 1+1=−2，0，21+1=−2，0，2

而 1+1≥21×11+1≥21×1​

也就是 1+1≥21+1≥2

所以 1+1=21+1=2 。

证毕