开集

度量空间 (metric space) (M,d) 的一个子集 U 是开集，如果给定的任意一个 U 中的点 x，存在一个实数 $\epsilon >0$ 使得任意 M 中的点 y 有 $d(x,y)<\epsilon$，y 也是属于 U。相当于，U 是开集，如果任意一个 U 中的点的领域也包括在 U。

Open Set - Wikipedia

闭集

解释1：在一个拓扑空间 (topological space)，一个集合是闭的 if and only if it coincides with its closure. 相当于，一个集合是闭的当且仅当它包括所有它的 limit points/boundary points.

解释2：在拓扑空间中，闭集（closed set）是指其补集为开集的集合2。

例如：
区间 $(-\infty ,2]$ 是闭集（这是一个半区间）
区间 $(-1,2]$ 既不是开集，也不是闭集。
有理数集合 Q 既不是开集，也不是闭集。

Closed Set - Wikipedia

紧集

若一个集合它不仅是闭集还是有界的，则该集合被称作紧集(compact set)

例如：
区间 $(-\infty ,2]$ 不是紧集，因为它下无界。
区间 $(-2,4)$ 不是紧集，因为它不是闭集。
区间 $[-2,4]$ 是紧集，因为它既是闭集又有界。

紧集-百度百科