1 积分区域D关于x轴对称

  • 如果被积函数f(x,y)是关于y的奇函数，即f(x,y)=-f(x,-y)，则

\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =0

  • 如果被积函数f(x,y)是关于y的偶函数，即f(x,y)=f(x,-y)，记D_{1}为x轴以上区域，则

\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =2\iint\limits_{D_{1}}\ f(x,y)d\sigma

2 积分区域D关于y轴对称

  • 如果被积函数f(x,y)是关于x的奇函数，即f(x,y)=-f(-x,y)，则

\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =0

  • 如果被积函数f(x,y)是关于x的偶函数，即f(x,y)=f(-x,y)，记D_{1}为y轴右侧区域，则

\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =2\iint\limits_{D_{1}}\ f(x,y)d\sigma

3 积分区域D关于x轴和y轴都对称

  • 如果f(x,y)=-f(-x,y)或f(x,y)=-f(x,-y)，则

\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =0

  • 如果f(x,y)=f(-x,y)，f(x,y)=f(x,-y)，记D_{1}为第一象限区域，则

\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =4\iint\limits_{D_{1}}\ f(x,y)d\sigma

4 积分区域D关于原点对称

  • 如果f(x,y)=-f(-x,-y)，则

\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =0

  • 如果f(x,y)=f(-x,-y)，记D_{1}=\left \{ (x,y)\epsilon D\mid x\geq 0 \right \}，则

\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =2\iint\limits_{D_{1}}\ f(x,y)d\sigma

5 积分区域D关于直线y=x对称

  • 如果f(x,y)=-f(y,x)，则

\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =0

  • 如果f(x,y)=f(y,x)，记D_{1}=\left \{ (x,y)\epsilon D \mid y\geqslant x\right \},则

\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =2\iint\limits_{D_{1}}\ f(x,y)d\sigma

  • 轮换对称性：若积分区域D关于直线y=x对称，则

\iint\limits_D\ f(x,y)d\sigma =\iint\limits_D\ f(y,x)d\sigma =\frac{1}{2}\iint\limits_D\ [f(x,y)+ f(y,x)]d\sigma

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