一，预备知识：
非线性一阶微分自治方程组的一般形式：
$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=f(x,y)\\ y^{\prime }=g(x,y)\end{array}$
等式右边不显含变量t
等式右边是非线性函数（如三角函数、二次项）

速度场：$\vec{F}=f\hat{i}+g\hat{j}=x^{\prime }\hat{i}+y^{\prime }\hat{j}$
（多变量微积分第十二讲有详解）

方程组的解$\left[\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right]$即速度场$\vec{F}$的轨迹

方程组$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]$即速度场$\vec{F}$轨迹上的速度向量

临界点（驻点）$\left[\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}\right]$是常数解，从场的角度看，他们是$\vec{F}=0$的地方，或者说速度向量$\left[\begin{array}{c}{x}_0^{\prime }=0\\ y_0^{\prime }=0\end{array}\right]$的地方

二，闭合轨迹：

如图，闭合轨迹是一个周期性回到原始状态的方程组。
例如：$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=y\\ y^{\prime }=-x\end{array}$
矩阵化：$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$
特征值：$\lambda =\pm i$
通解：$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}cos(t)\\ -sin(t)\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}sin(t)\\ cos(t)\end{array}\right]$
图解：

三，极限环：

如图，极限环是一个闭合轨迹，并且是唯一且稳定的环。周围的轨迹（蓝色线）螺旋靠近，但不与极限环相交。稳定性是指周围的轨迹，无论是从外面还是从里面出发，最终都会靠近极限环。
极限环是简单曲线，即曲线不和自己相交。因为如果相交，速度向量就不是唯一的了。

物理含义：极限环表示自然界里一些有运动周期的系统，即便受到干扰，也会逐渐回到原先的周期状态。比如，呼吸的频率，即使在某一时间可以控制改变呼吸的频率，但当不去控制的时候，就会自然变回原来的频率。人血液中各种荷尔蒙和二氧化碳的水平，让会使人的呼吸回到自然状态。

四，极限环存在性的问题：
判断是否存在：目前还没有办法判断一个方程组是否有极限环。庞加莱-本迪克松定理已经过时，找极限环困难的地方是：你不知道在什么地方找它们，除非方程组背后的物理系统暗示存在某种周期性的现象。因此目前找极限环的方法是：用计算机搜索，并由物理意义指引。

判断是否不存在：
本迪克松准则：如果D是平面的一个区域，f(x,y)和g(x,y)都是连续函数，散度$div\vec{F}=f_x+g_y̸=0$，那么区域D内不存在极限环，也不存在闭合轨迹。
例如：$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x^3+y^3\\ y^{\prime }=3x+y^3+2y\end{array}$
计算$div\vec{F}=3x^2+3y^2+2̸=0$
因此在x-y平面上，不存在闭合轨迹。
反证法证明本迪克松准则：

如图，假设区域D内，散度$div\vec{F}̸=0$存在一个闭合轨迹C，闭合轨迹内部记为R，$\hat{n}$表示单位法向量。
计算这条曲线的线积分（$\vec{F}$通过C的通量积分）：${\oint }_C\vec{F}\cdot \hat{n}ds$
因为$\vec{F}$切于曲线，而$\hat{n}$垂直于曲线，所以${\oint }_C\vec{F}\cdot \hat{n}ds=0$
格林定理：${\oint }_C\vec{F}\cdot \hat{n}ds={\iint }_{R}div\vec{F}dA$
因此：${\iint }_{R}div\vec{F}dA=0$
因为假设区域D内，散度$div\vec{F}̸=0$，所以在R范围内，$div\vec{F}$要么都>0，要么都<0，不存在有些>0有些<0的情况（这种情况会在正值和负值之间产生$div\vec{F}=0$的点）。
因此：${\iint }_{R}div\vec{F}dA$要么>0，要么<0
两个结论矛盾，证明散度$div\vec{F}̸=0$不存在一个闭合轨迹C

临界点准则：
例如，判断方程组$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x^2+y^2+1\\ y^{\prime }=x^2-y^2\end{array}$是否存在极限环
利用本迪克松准则，计算$div\vec{F}=2x+2y$，在y=x这条线上，$div\vec{F}=0$
依据此准则，可以判断在不含y=x这条线的区域不存在闭合轨迹，但却不能判断包含y=x这条线相交的区域也不存在闭合曲线，因为有些地方$div\vec{F}=0$
临界点准则：假设在x-y平面D区域内，存在一个闭合轨迹C，则在闭合轨迹内部R某处必定存在一个临界点。因此，如果D区域内没有临界点，则区域内没有闭合轨迹，更没有极限环。
因为$x^{\prime }=x^2+y^2+1̸=0$，所以不存在临界点。
因此没有极限环。