Bezier曲线反求控制点

做曲线拟合的时候，往往希望拟合的曲线通过数据点，这个推导一下Bezier曲线控制点的计算过程.

曲线公式

$$\begin{gathered} 曲线：C(u)=\sum _{i=0}^n{B}_{n,i}(u)P_i \\ 基函数：B_{n,i}=\frac{n!}{i!(n-i)!}{u}^i(1-u{)}^{n-i} \end{gathered}$$

这里求解控制点，即C为已知信息，求解式中的P.

计算3次Bezier曲线控制点

曲线多项式：

$$C(u)=\sum _{i=0}^3{B}_{3,i}(u)P_i=(1-u{)}^3{P}_0+3(1-u{)}^{2}u{P}_1+3(1-u)u^2{P}_2+u^3{P}_3,0\le u\le 1$$

写成矩阵方式：

$$C=B\ast P$$
式中：

$$\begin{gathered} B=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ \frac{8}{27}& \frac{4}{9}& \frac{2}{9}& \frac{1}{27}\\ \frac{1}{27}& \frac{2}{9}& \frac{4}{9}& \frac{8}{27}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{c}{P}_0\\ P_1\\ P_2\\ P_3\end{array}\right] \end{gathered}$$
 
则 得到;
$$\begin{gathered} B^{-1}C=B^{-1}B\ast P \\ P=B^{-1}C \end{gathered}$$
即可计算得到相应的样条曲线控制点.

Python验证

取点位 C0(0,0) C1(0,2) C2(2,2) C3(2,0)

计算控制点P后，画出如下Bezier曲线：

黑色点为原始数据点；
红色点为计算得到的控制点；
蓝色曲线为由原始数据点直接拟合的Bezier曲线；
橘黄色为由控制点拟合的Bezier曲线；