考研数学线上笔记（二）：凯哥不定积分计算系列课程

目录有理函数的积分（多项式除以多项式）引入五步曲(Bx+C)/(x2+px+q)(Bx+C)/(x^2+px+q)(Bx+C)/(x2+px+q)型计算(Bx+C)2/(x2+px+q)2(Bx+C)^2/(x^2+px+q)^2(Bx+C)2/(x2+px+q)2型计算常规方法：三角换元分部积分法降次(Bx+C)/(x2+px+q)2(Bx+C)/(x^2+px+q)^2(Bx+C)/(x2+p

Ryo_Yuki

12648人浏览 · 2021-09-26 08:31:54

Ryo_Yuki · 2021-09-26 08:31:54 发布

1 有理函数的积分（多项式除以多项式）

视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1f54y1G7gv?spm_id_from=333.999.0.0

引入

真分式：分子最高次数小于分母
假分式：分子最高次数大于等于分母

五步曲

① 如果是假分式，通过多项式除法变成多项式与真分式之和
② 将该真分式的分母进行因式分解（一直分解到无法分解）
③ 裂项

分母中含有 $x-a)^k$ ，则裂项后的式子一定含有 $A1/(x-a)+A2/(x-a)^2+······+Ak/(x-a)^k$
分母中含有 $x^2+px+q)^k（已经无法再因式分解）$ ，所以这里的 $p^2-4q<0$ 则裂项后的式子中一定含有 $B1+C1)/(x^2+px+q)+(B2+C2)/(x^2+px+q)^2+······+(Bk+Ck)/(x^2+px+q)^k$
k为多少就能裂出多少项，详见五部曲完整展示部分

④ 重新通分，根据“通分之后的分子与原被积函数的分子应该相等”的原则，列出待定系数所满足的方程，解出待定系数，将真分式分解成各个基本分式之和

⑤ 对解出后的 $A/(x-a)^k$ 进行积分十分容易
对 $Bx+C)/(x^2+px+q)^k$ 进行积分，在考研范围内，k一般只有1和2的情况，只需会积 $Bx+C)/(x^2+px+q)$ 和 $Bx+C)/(x^2+px+q)^2$ 即可

$Bx+C)/(x^2+px+q)$ 型计算

改造分子，使其凑出分母的导数，拆成两项积分的和
前一项将分子放进dx里面，用“分母分之一”的积分公式变成ln(分母)+C
后一项将分子的常数提出，分母配方凑成“平方+平方”，用“平方+平方分之一”的积分公式变成 $(1 / a) \times a r c t a n (x / a)$ +C

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$x^2/(a^2+x^2)^2$ 型计算

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使用分部积分法降次
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$1/(a^2+x^2)^2$ 型计算

归结于为计算上方的结论
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$Bx+C)/(x^2+px+q)^2$ 型计算

改造分子，拆分成两个积分，
前一个积分直接用积分公式
后一个积分，对分母进行配方换元，归结于为计算上方的结论
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$Bx+C)/(x+m)(x+n)^2$

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$Bx+C)/(x+n)^2(x^2+px+q)$ 型计算—五部曲完整展示

题目
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因式分解
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裂项

通分（解出ABCD）
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求解
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常规解法例题

1
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2
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有理函数的一些特殊解法

根据分母改造分子

1
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2
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倒代换
一般适用于分母次数比分子高很多的情况

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整体思想
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解决 $1±x^2)/(1+kx^2+x^4)$ 类型的题目：上下最高次差两倍，可以同除以低次项
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其他形式转换为有理函数积分

可以看成 $f(e^x)$ 的被积函数

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然后分子分母同时除以 $t^2$ 的方法做即可

换元法打开局面

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分子为1时，可以考虑上下同乘，再把分子凑进去

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$\sqrt x$ 常可以凑进dx中

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2 三角有理函数的积分

视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1MN411Z7EH?spm_id_from=333.999.0.0

通用方法——万能公式换元法

令 $t a n (x / 2) = t$ ，反解出 $x = 2 a r c t a n t$ 故 $dx=[2/(1+t^2)]dt$
且可得 $sinx=2t/(t^2+1)$ $cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$ ，将以上三个式子全部（dx也要代入）代入原积分，化为一个关于t的有理函数积分，积出来以后将 $t = t a n (x / 2)$ 代回即可