一、锁相环基本结构

1、上图即为锁相环基本组成结构：包含鉴相器、环路滤波器和压控振荡器三部分，相应的反馈回路如图示例为一个整数N分频器，实际也可以是复杂的小数分频器，通常采用Sigma-delta调制器控制实现;
2、锁定状态的相位差${\varphi }_0=\frac{{\omega }_1-{\omega }_0}{K_{pd}{K}_{vco}}$;

(1)VCO输出频率：${\omega }_{out}={\omega }_0+K_{vco}{V}_{cont}$;
(2)鉴相器输出电压：$\overline{V_{pd}}=K_{pd}\Delta \varphi$;
(3)由上式可以看出，输入频率变化会引起相位误差改变；为使得相位误差足够小，$K_{pd}{K}_{vco}$的值必须最大。

3、PLL开环传输函数这里表示为：$G(s)=K_{pd}\ast \frac{1}{s}\ast (...)\ast \frac{K_0}{s}$;
4、反馈回路传输函数表示为：$K(s)=1/N$。

• 闭环传输函数表示为：$$H(s)=\frac{{\varphi }_{out}(s)}{{\varphi }_{in}(s)}=\frac{G(s)}{1+K(s)\ast G(s)}=\frac{{\omega }_{out}(s)}{{\omega }_{in}(s)}$$

二、锁相环性能分析

• 波特图（下图为开环传输函数$G(s)=\frac{50}{s(1+\frac{s}{50})}$对应的波特图）

幅频特性为0dB的点对应频率为环路带宽大小，环路带宽值对应相位的模值与$180^{\circ }$之差为相位裕度。

在实际情况下可以使用近似方法来快速构建波特图，用以分析锁相环性能，这里用$j\omega$代替$s$：

幅频特性：
1、对于极点项$H_1=\frac{1}{1+\frac{j\omega }{{\omega }_0}}$，$20lo{g}_{10}(\left|H_1\right|{)}_{\omega ={\omega }_0}\approx -3dB$，$20lo{g}_{10}(\left|H_1\right|{)}_{\omega =0.1{\omega }_0}\approx 0dB$，$20lo{g}_{10}(\left|H_1\right|{)}_{\omega =10{\omega }_0}\approx -20dB$；作图时当$\omega \le {\omega }_0$，$20lo{g}_{10}(\left|H_1\right|)=0dB$,当$\omega \ge {\omega }_0$，$20lo{g}_{10}(\left|H_1\right|)$以-20dB/dec（-20dB/十倍频）下降；对于$1/s$，则其前后均以-20dB/dec下降。
2、由于$log(a\ast b)=log(a)+log(b)$，所以每过一个极点，下降速度增加-20dB/dec；$n$重极点下降速度为一重极点的$n$倍；同理可以得到零点特性，与极点恰好相反。

相频特性：
1、对于极点项$H_1=\frac{1}{1+\frac{j\omega }{{\omega }_0}}$，$phase(H_1{)}_{\omega ={\omega }_0}\approx -45^{\circ }$，$phase(H_1{)}_{\omega =0.1{\omega }_0}\approx 0^{\circ }$，$phase(H_1{)}_{\omega =10{\omega }_0}\approx -90^{\circ }$；作图时当$\omega \le 0.1{\omega }_0$，$phase(H_1)=0^{\circ }$,当$\omega \ge 10{\omega }_0$，$phase(H_1)=-90^{\circ }$；当$\omega \in (0.1{\omega }_0,10{\omega }_0)$，$phase(H_1)$以$-45^{\circ }$/dec下降，对于$1/s$，则其前后均为$-90^{\circ }$。
2、由于$log(a\ast b)=log(a)+log(b)$，所以每过一个极点，相位减小$-90^{\circ }$，$n$重极点下降幅度为一重极点的$n$倍；同理可以得到零点特性，与极点恰好相反。

• 环路带宽与相位裕度（参见《模拟CMOS集成电路设计》）：

1、环路带宽越窄，鉴相器输出的高频成分被抑制的越厉害，但输出频率稳定时间越长。
2、$K_{pd}{K}_{vco}$越大，相位误差越小，但相位裕度（一般需要大于$45^{\circ }$）变小，系统稳定性变差。
3、相位裕度过小，$\left|H\right|=0dB$处存在尖峰。

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