一.幂等矩阵的定义

若对于方阵A存在如下关系：$AA=A$，则称A为一个幂等矩阵

二.一些常见的幂等矩阵

1.单位矩阵$I$

2.某一行全为1，其余行全为0的矩阵$A$
(证明：设$A$的第$m$行全为1，其余行全为0。$B=A\ast A$，可知$b_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{a}_{kj}$，只有当$i=m$时，${\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{a}_{kj}=1$,则$b_{mj}=1$，否则为0,所以$B$矩阵第$m$行全为1，其余行全为0。所以$B=A\ast A=A$)

3.用于计算离差的矩阵$M_0=(I-\frac{1}{n}i{i}^{\prime })$.
其中$I$为单位阵，$i$为元素全为1的列向量，$i^{\prime }$为元素全为1的行向量，$M_{0}x$为向量$x$的离差形式。
(证明：$M_0\ast M_0\ast =(I-\frac{1}{n}i{i}^{\prime })\ast (I-\frac{1}{n}i{i}^{\prime })=I-2\frac{1}{n}i{i}^{\prime }+\frac{1}{n^2}i(i^{\prime }i)i^{\prime }$，因为$i^{\prime }i=n$，所以$M_0\ast M_0$=$(I-\frac{1}{n}i{i}^{\prime })\ast (I-\frac{1}{n}i{i}^{\prime })=I-2\frac{1}{n}i{i}^{\prime }+\frac{1}{n}i{i}^{\prime }=M_0$)

三.幂等矩阵性质

1.幂等矩阵的特征值只能为0和1。
(证明思路：因为为幂等矩阵所以推出${\lambda }^k=\lambda$，所以$\lambda$只能为0,1)

2.幂等矩阵可对角化。
（证明思路：$A$为幂等矩阵,$C$为其特征向量矩阵，$\Lambda$为对角线为特征值的矩阵，则$A$的对角化为$C^{\prime }AC=C^{\prime }C\Lambda =\Lambda$）

3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即$tr(A)$=$rank(A)$。
(证明思路：将$A$对角化为$\Lambda$,因为$\lambda$只能为0,1，所以对于$A$有：$tr(A)=tr(\Lambda )=$对角线为1的元素和=不全为0的行$=rank(\Lambda )=rank(A)$)

4.可逆的幂等矩阵为$I$
（证明思路，可逆一定满秩，满秩说明所有特征值为1，此时为单位阵$I$）

5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵

。。。

四.关于幂等矩阵的理解

幂等的思想在数学和工程中都是经常使用的思想。
将矩阵$A$作用于向量$x$上，相当于对$x$进行了一次变换。可以记为$Ax=f(x)$。此时所A为幂等矩阵，则$AAx=Ax$，进一步有$f(f(x))=f(x)$，说明此时对$x$进行多次变换与进行一次变换的效果是一样的。
这样的思想在开发工程中也经常使用，工程中的幂等，说的是对用户的输入进行重复多次计算，仍与计算一次的结果是相同的，这避免了数据重复计算时带来的弊端，确保了工程的正确性与稳定性。