相关函数贯穿整个随机信号处理，下面就着重讨论相关函数。

自相关函数的定义

集合平均下自相关函数计算公式：
$$R_{xx}(m,n)=E\left[X^{\ast }(m)X(n)\right]=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i^{\ast }(m)x_i(n)$$
时间平均下自相关函数的计算公式：
$$<x^{\ast }(i)x(i+j)>=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{i=-N}^N{x}^{\ast }(i)x(i+j)$$
平稳随机序列的三种定义不同写法：
(1) $r_{xx}(m)=E[x(n)x^{\ast }(n+m)],r_{xy}(m)=E[x(n)y^{\ast }(n+m)]$
(2) $r_{xx}(m)=E[x(n)x^{\ast }(n-m)],r_{xy}(m)=E[x(n)y^{\ast }(n-m)]$
(3) $r_{xx}(m)=E[x^{\ast }(n)x(n+m)],r_{xy}(m)=E[x^{\ast }(n)y(n+m)]$

三种不同写法的区别：
对于实信号，三者一致；
对于虚信号，为方便比较，令(2)中的$r_{xx}(m)$表示为$r_{xx}^{\prime }(m)$, 令(3)中的$r_{xx}(m)$表示为$r_{xx}^{\prime \prime }(m)$
$$r_{xx}(m)=r_{xx}^{\prime }(-m)=r_{xx}^{\prime \prime }(-m)$$

平稳随机信号相关函数的性质

(1) $R_{xx}(m)=E[X_n^{\ast }{X}_{n+m}]=E[X_n{X}_{n-m}^{\ast }]$
(2) 自相关函数是偶函数
$$R_{xx}(m)=R_{xx}(-m),R_{xy}^{\ast }(m)=R_{yx}(-m)$$
(4) $R_{xy}(m)=R_{xy}(n,n-m)=E[X_n^{\ast }{Y}_{{}_{n+m}}^{}]$
(5) $R_{xy}(m)=0$，两个序列正交
(6) $Rxx(0)$数值上等于随机序列的平均功率;（由定义可以直接求得）
(7) 相关性随时间差的增大越来越弱：
$$\underset{m\to \infty }{\lim }{R}_{xx}(m)={\mu }_x^2\underset{m\to \infty }{\lim }{R}_{xy}(m)={\mu }_x{\mu }_y$$

相关函数的傅里叶变换和$Z$变换

对于非周期信号，能量时无穷的，无法使用傅里叶变化，但是信号的自相关函数可能存在傅里叶变换。由上述性质(7) 可知，当相关函数随着时间差趋于无穷时，自相关函数取值趋于均值的平方。当均值为0时，自相关函数就能收敛，傅里叶变换存在。
可以通过预处理，去均值，使自相关函数的均值为0。