ARMA模型的定义

具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为

fb5add5a958928d7c429b1e20afc5e50.png

特别当

时，称为中心化
模型

引进延迟算子,

模型简记为

9b5676cb3dfef418d4c80c68c4dc6116.png

其中：

ae4591b53554c1be05931b3edb5bc591.png

0cbd6a54d3458df04651ca459e11895c.png

平稳条件与可逆条件

  • 模型的平稳条件

P阶自回归系数多项式

的根都在单位圆外

即

模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定
  • 模型的可逆条件

q阶移动平均系数多项式

的根都在单位圆外

即

模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定

传递形式与逆转形式

传递形式

0ded3c7dd88dbf204a622f42445a4a6e.png

dba9d4e8c346a4b749426f295e96700c.png

逆转形式

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ARMA(p,q)模型的统计性质

均值

4b7f67e7af6bec7ee5bf6104cb26c3ef.png

协方差

bc67339e8b3352d157d3aed9b946c836.png

自相关系数

49e8b3f0969cc6de274b5962510facc9.png

ARMA模型的自相关函数

由ARMA(p,q)的自协方差公式可以看出，只有k≤q的q个自相关

的值同时依赖于
和
;

当k>q时，具有与AR(p)模型相同的自相关函数差分公式

5252e2886836ceeff02711abc3c578b8.png

或者

ac5785fd405d1258a8b1b74e919ede5a.png

若q-p<0，， 自相关函数

是指数或正弦波衰减的，具体由多项式中
和初始值决定。

若q-p≥0，就会有q-p+1个初始值

不遵从一 般的衰减变化形式。

ARMA(p,q)的自相关函数是

步拖尾的。这一事实在识别ARMA模型时也非常有用。

ARMA(1,1)过程

e397caaf383554560f808aad9ebd9c70.png

9e8def13b1116de83160b0977f7a919d.png

56cc589f5ae616a1f3cb1451a5c2e19c.png

ARMA模型的相关性

  • 自相关系数拖尾

ARMA(p,q)模型可以转化为无穷阶移动平均模型

  • 偏自相关系数拖尾

ARMA(p,q)模型可以转化为无穷阶自回归模型

例8:考察ARMA模型的相关性

拟合模型ARMA(1,1)

4ad59497b48df386e3329af0867d53d4.png

并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。

自相关系数和偏自相关系数拖尾性

f6cb134c50b02a7f2134b0b9c38a54ab.png
样本自相关图

e94f94a50dbab42395581bce1c533624.png
样本偏自相关图

样本偏自相关图

ARMA模型相关性特征

c7b9733c8f419a23880716575c69e05d.png

1、某ARMA(2,2)模型为 :

4958064216be1250e62d87c161212647.png

e34a3d109f403c991ccb1d5ddc928407.png

2、 证明ARMA(1,1)序列:

d30c70ed8ad54f361a6faf56b980db40.png

1b5260a0cadff7bcdd92d2bc88af43ba.png

证明：

23f0c65d86f68f98bc7e34af982e295e.png
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