Topsis方法对数据综合评价

好的！文西

4862人浏览 · 2022-09-21 21:17:05

好的！文西 · 2022-09-21 21:17:05 发布

一、数据正向化

将数据中评价需要使用的极小性指标，中间型指标，区间型指标正向为极大型指标，具体方法如下：

极小型指标正向化公式：

$\hat{x}_i=\max -x_i$ 或

$\hat{x}_i=\frac{1}{x_i}$

中间型指标正向化公式：先求出与设定中间值 $x_{\text {best }}$ （最佳值）相差最远的值作为M

$M=\max \left\{\left|x_i-x_{\text {best }}\right|\right\}$

之后正向化：

$\hat{x}_i=1-\frac{x_i-x_{\text {best }}}{M}$

区间型指标正向化公式：设置最佳区间[a,b]，计算M

$M=\max \left\{a-\min \left\{x_i\right\}, \max \left\{x_i\right\}-b\right\}$

之后正向化：

$\hat{x}_i= \begin{cases}1-\frac{a-x_i}{M}, & x_i<a \\ 1, & a<x_i<b \\ 1-\frac{x_i-b}{M}, & x_i>b\end{cases}$

二、标准化

采用公式：

$z_{i j}=\frac{x_{i j}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_{i j}^2}}$

即每个元素除以所在列元素平方和的开方，得到标准化后的矩阵Z

三、求出最优解与最劣解

计算每个方案与其最优解最劣解的距离

选出每列中的最大值组成向量作为最优解

$z^{+}=\left[z_1^{+}, z_2^{+}, \ldots, z_m^{+}\right]=\left[\max \left\{z_{11}, z_{21}, \ldots, z_{n 1}\right\}, \max \left\{z_{12}, z_{22}, \ldots, z_{n 2}\right\}, \ldots, \max \left\{z_{1 m}, z_{2 m}, \ldots, z_{n m}\right\}\right]$

选出每列中的最小值组成向量作为最劣解

$z^{-}=\left[z_1^{-}, z_2^{-}, \ldots, z_m^{-}\right]=\left[\min \left\{z_{11}, z_{21}, \ldots, z_{n 1}\right\}, \min \left\{z_{12}, z_{22}, \ldots, z_{n 2}\right\}, \ldots, \min \left\{z_{1 m}, z_{2 m}, \ldots, z_{m m}\right\}\right]$

四、得出结果并排序
根据最优解与最劣解算出得分并排序

计算公式：对于每一个方案（样例）计算与最优解的距离

$d_i^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^m\left(z_j^{+}-z_{i j}\right)^2}$

计算与最劣解的距离

$d_i^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^m\left(z_j^{-}-z_{i j}\right)^2}$

综合以上两个距离进行评分：

$S_i=\frac{d_i^{-}}{d_i^{+}+d_i^{-}}$

根据公式，当d+越小的时候，即我们的样例与最优解的差距越小的时候Si越大，最后根据Si的排序得到最优样例即是我们要求的解。

五、应用，数据为水域采集的样本值包括PH值、含氧量等内容，要求选出最好、最差的样例。

数据如下：

河流	含氧量（ppm)	PH值	细菌总数(个/mL)	植物性营养物量（ppm)
A	4.69	6.59	51	11.94
B	2.03	7.86	19	6.46
C	9.11	6.31	46	8.91
D	8.61	7.05	46	26.43
E	7.13	6.5	50	23.57
F	2.39	6.77	38	24.62
G	7.69	6.79	38	6.01
H	9.3	6.81	27	31.57
I	5.45	7.62	5	18.46
J	6.19	7.27	17	7.51
K	7.93	7.53	9	6.52
L	4.4	7.28	17	25.3
M	7.46	8.24	23	14.42
N	2.01	5.55	47	26.31
O	2.04	6.4	23	17.91
P	7.73	6.14	52	15.72
Q	6.35	7.58	25	29.46
R	8.29	8.41	39	12.02
S	3.54	7.27	54	3.16
T	7.44	6.26	8	28.41

代码如下：

topsis.m:

%导入数据到matlab中
%先在工作区新建临时变量，将数据拷贝到临时变量后再存储为matlab内的数据文件
load data_water_quality.mat
[n,m] = size(X);
disp(['含有' num2str(n) '个评价对象,' num2str(m) '个评价对象']);
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要正向化，需要输入1，不需要输入0：']);%判断是否需要正向化
if Judge == 1
    Position = input('输入需要正向化的指标列如2，3，6列，输入[2,3,6]:');%获取需要正向化的列
    disp('输入每列需要正向化的指标类型：1.极小型 2.中间型 3.区间型');%获取每列的正向化类型
    Type = input('输入每列需要的类型，如2列极小型输入1，3列为区间型输入3，6列为中间型输入2:');
    for i = 1:size(Position,2)
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Position(i),Type(i));%将正向化的数据存入X中
    end
    disp('正向化后的矩阵X = ');
    disp(X);
end
%对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X./repmat(sum(X.*X).^0.5,n,1);
disp('标准化后的矩阵为：');
disp(Z);

%计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_p = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;
D_n = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;
S  = D_n./(D_p+D_n);
disp('最后的得分为：')
stand_s = S/sum(S);
disp(stand_s);

Positivization.m:

function [position_x] = Positivization(x,i,type)
%x为需要正向化的列
%position为原始数据的所在列
%type为正向化的标准
    if type == 1
        disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在进行正向化处理']);
        position_x = Min2Max(x);
        disp(['正向化处理完成']);
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~');
    elseif type == 2
        disp(['第' num2str(i) '列是中间型']);
        best = input('请输入最佳值');
        position_x = Mid2Max(x,best);
        disp(['正向化处理完成']);
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~');
    elseif type == 3
        disp(['第' num2str(i) '列是区间型']);
        a = input('请输入区间的下界：');
        b = input('请输入区间的上界：');
        position_x = Inter2Max(x,a,b);
        disp(['正向化处理完成']);
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~');
    else
        disp('没有这种类型的正向化处理，请检查是否输入错误');
        return;
    end
end

Min2Max.m:

function [posit_x] = Min2Max(x)
    posit_x = max(x) - x;
end

Mid2Max.m:

function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
    M = max(abs(x-best));
    posit_x = 1 - abs(x - best)/M;
end

Inter2Max.m:

function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
    r_x = size(x,1);
    M = max([a - min(x),max(x)-b]);
    posit_x = zeros(r_x,1);%初始化posit_x全为0
    for i = 1:r_x
        if x(i) < a
            posit_x(i) = 1 - (a - x(i))/M;
        elseif x(i) > b
            posit_x(i) = 1 - (x(i) - b)/M;
        else
            posit_x(i) = 1;
        end
    end
end

结果如下：范围我设置的为PH=7 营养物15-20

最后的得分为：
0.0454 A
0.0422 B
0.0448 C
0.0512 D
0.0471 E
0.0482 F
0.0478 G
0.0508 H
0.0730 I
0.0598 J
0.0601 K
0.0617 L
0.0571 M
0.0231 N
0.0585 O
0.0487 P
0.0470 Q
0.0443 R
0.0318 S
0.0573 T