用一个例子来解释有关CT（平行束）的一种直接反投影重建算法的方法。是对一种算法的基数取值进行计算。按照计算可以很好的重建的，但是在MATLAB上跑出来的重建效果比MATLAB自带的iradon()差。。。。

4×4矩阵，从0°、45°、90°、145°投影。（正上方为0°）
$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$
那么对于1这个点，在四次投影完之后，就是 (衰减系数值)×4(角度数)+其它的值(2,3,4)
$${\mu }_1^{\prime }={\mu }_1\times 4+{\mu }_2+{\mu }_3+{\mu }_4=1\times 4+2+3+4=13$$
同样的道理，对于2这个点
$${\mu }_2^{\prime }={\mu }_2\times 4+{\mu }_1+{\mu }_3+{\mu }_4=2\times 4+1+3+4=16$$
对于3为19、4为22.
$$\left[\begin{array}{cc}13& 16\\ 19& 22\end{array}\right]$$
然后就可以发现：
$$\begin{gathered} {\mu }_1^{\prime }={\mu }_1\times 3+{\mu }_1+{\mu }_2+{\mu }_3+{\mu }_4 \\ ={\mu }_1\times 3+{\mu }_{sum}=13 \end{gathered}$$
${\mu }_{sum}$是原图像所有体素的总和，但是我们就是需要重建它所以得不到。
但是，当我们把各个投影值相加我们可以得到
$$\begin{gathered} {\mu }_1^{\prime }+{\mu }_2^{\prime }+{\mu }_3^{\prime }+{\mu }_4^{\prime } \\ =({\mu }_1+{\mu }_2+{\mu }_3+{\mu }_4)\times 3+{\mu }_{sum}\times 4=70 \end{gathered}$$
所以很容易发现${\mu }_{sum}$就是基数；
而这个4就是像素数2×2；而这个3不难发现就是角度数减1.

但是这存在一个问题，在我们投影的时候是不会建立如[4 4;6 6]这样的矩阵的。我们只能得到四个一维数组，分别如下。
$$[4,6][3,5,2][7,3][4,5,1]$$
可以这么理解，就是光绕着中心做了4个投影，那么每一个数组的求和值就是原图像所有体素的总和，也就是${\mu }_{sum}$，我们的基数。所以这种情况下，四个数组求和值的求和与${\mu }_{sum}$的关系仅仅和我们的角度数有关。
$$\begin{gathered} 4+6+3+5+2+7+3+4+5+1=40; \\ 40/4=10; \end{gathered}$$
虽然这能更简便算出基数，但是[13 16;19 22]这个矩阵依旧得不到，我采用了旋转相加的方式，但是这就会存在误差。

现在，假设我们有了，[13 16;19 22]，也通过上面的方法计算出了基数10；那么减去基数就能得到矩阵[3 6;9 12]，就可以进行乘除、获得图像了。

总结，基数就是各个方向投影值的总和减投影角度数

计算[1 3;5 7] ;从0、45、90、145投影。
对于256*256的头模型，进行0~179角度投影重建。可以发现重建的存在伪迹、并且不如iradon，可能就是采用了旋转相加的方法得到矩阵和。也可能是数学上的问题。。

星状伪迹，矩阵
$$\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

clear;clc;
n =45; % 步进的角度值
% P = phantom();
P = [1 3;5 7];
% P = [5 2 ; 1 0];
% P = [0 0 0 0 0;0 0 0 0 0;0 0 1 0 0;0 0 0 0 0;0 0 0 0 0;];
subplot(131);imshow(P,[]);title('原图像');
theta = 0:n:180-n;
dtheta = theta(2) - theta(1);
angles_num = numel(theta); %角度的数量
[R1,xp] = radon(P,theta);
% 首先我们可以得到各个方向上的一维数组(2*2->7)(256*256->367)
% 不知道为什么会是7，理论上2*根号2足够了
R2 = R1';
R = zeros(length(R2(1,:)),length(R2(1,:)));
for theta = 0:n:180-n
    i = theta / dtheta + 1;
    Expand = repmat(R2(i,:),[length(R2(1,:)),1]);
    % 然后将这些数组还原成一维数组长宽的矩阵
    Spin = imrotate(Expand,theta,'crop');
    %矩阵旋转（伪迹形成的主要原因）
    R = R+Spin;
    % 矩阵相加
end
% R = [4 6 ;4 6] + [5 2;3 5] + [3 3;7 7] + [1 5;5 4];
% R = [6 2 ;6 2] + [5 2;1 5] + [7 7;1 1] + [5 2;1 0];
% 计算基数
% Pixels = numel(P); %图像的像素值
% angles_num = numel(theta);
base = sum(sum(radon(P,theta)))/angles_num;
% 重建后的矩阵
I = ((R - base))-0.19./0.19.*1000;
subplot(132);imshow(I,[]);title('自己重建');
% 直接反投影
I2 = iradon(R1,dtheta,'None');
subplot(133);imshow(I2,[]);title('iradon');

最后我发现基数取其它的值，重建的效果与计算出来的没差？？？？