DSP研讨--DFT 近似计算信号频谱专题研讨
声音包括语音、乐音、噪音等。乐音是发音物体有规律地振动而产生的具有固定音高的音，如音乐中的 1(Do)、2(Re)、3(Mi)。按照音高顺次排列的一串乐音就是音阶，如大家熟悉的1(Do )2(Re)3(Mi) 4(Fa)5(So)6(La)7(Si)就是音阶。乐音由不同频率的正弦信号构成，其最简单的数学模型是 cos(2ft)，如 C 大调音阶各乐音对应的频率如下表：...
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【 目的 】
(1) 掌握利用 DFT 近似计算不同类型信号频谱的原理和方法。
(2) 理解误差产生的原因及减小误差的方法。
(3) 培养学生自主学习能力，以及发现问题、分析问题和解决问题的 能力。
【知识点】
利用 DFT 分析连续信号的频谱 DFT 参数
【背景知识】
声音包括语音、乐音、噪音等。 乐音是发音物体有规律地振动而产生的具有固定音高的音，如
音乐中的 1(Do) 、 2(Re) 、 3(Mi) 。按照音高顺次排列的一串乐音就是音阶，如大家熟悉的
1(Do )2(Re)3(Mi) 4(Fa)5(So)6(La)7(Si) 就是音阶 。乐音由不同频率的正弦信号构成，其最简单的数学
模型是 cos(2 ft ) ，如 C 大调音阶各乐音对应的频率如下表：
【 题目分析和方案设计 】
题目一：
利用 DFT 分析 x ( t )= A cos(2 f 1 t )+ B sin(2 f 2 t ) 的频谱，其中 f 1 =200Hz ， f 2 =220Hz 。
(1)A=B=1;
(2)A=1,B=0.1 。
分析题目，给出合适的 DFT 参数，并对实验结果进行分析，讨论窗口的长度和窗口的类型对谱
分析有何影响。
（
1）参数确定：
已知连续周期信号 x ( t )= A cos(2 f 1 t )+ B sin(2 f 2 t ) ，其中 f 1 =200Hz ，
f 2 =220Hz 。
① 对信号采样：
由时域离散化频域周期化可知
为了避免频谱重叠 
② 窗函数 N 的确定：（矩形窗为例） 已知该信号有两个相邻频率 f 1 =200Hz ， f 2 =220Hz。
本实验选择 N=30 、 60 、 90 、 120 ，分别观察不同窗函数长度对 DFT 计算频谱的结果影响。
③ 窗函数类型的确定
已知不同类型的窗函数截取的 X N (e jΩ )主瓣峰值和旁瓣峰值之比不同。并且主瓣越宽，旁瓣峰值越衰减。而本实验（2）中，信号存在不同幅值的两个相邻频率，应该重点减小主瓣峰值和旁瓣峰值之比。本次实验我们选择用"矩形窗","海明窗","汉宁窗","布莱克曼窗"和"凯瑟窗"，观察不同窗函数处理后 XN(ejΩ )的频谱。
④ DFT 计算中 L 的确定：
为了减少栅栏效应的影响，应该将 X N [k]补零至 L（L＞N）。本实验我们选择 L=512.
（2）程序分析：
将两种频率系数、四种取样长度 N 和五种窗口类型进行组合对比，在 DFT 长度不变情况下观察
各组参数对 DFT 频率分析的影响。 
由于复制会变形，本文中只给出题目一的解答，以下问题的解答直接上传资源
题目二：
已知一离散序列为 x [ k ]=cos( 0 k )+0.6cos( 1 k ), 其中 0 =12 , 1 = /64 。
(1) 数据 x [ k ] 的长度 N =64 ，对 x [ k ] 做 L =64 点 FFT, 画出此时信号的频谱，观察是否可以分辨两 个谱峰。若不可以，对 64 点信号补零，画出 L=128 以及 L=512 时信号的频谱，观察是否可以分辨
出两个谱峰，并解释原因。
(2) 选择合适的参数实现题 2 中两个谱峰的分离。
题目三：
利用 DFT 分析音阶信号 yueyin1.wav 的频谱。
要求读取该信号的抽样频率，获得时域抽样点数 N ，确定信号的持续时间以及合适的 DFT 点
数，并根据谱分析的结果，判断是什么调的音阶。
题目四：
和弦的频谱成分。
和弦一般由 3 个（也可大于 3 个）具有一定规律的乐音构成，即 x ( t )= cos(2 f 1 t )+ cos(2 f 2 t )+
cos(2 f 3 t ) 。
（ 1 ）利用 DFT 分析和弦信号 hexian1.wav 的频谱，确定构成该和弦的是哪几个乐音（即什么
频率分量）。
（ 2 ）若乐曲全音符的持续时间为 0.2s, 从理论上分析利用 DFT 分析 16 分音符乐音构成会出现
什么问题？设计实验验证一下你的判断，并给出解决问题的方案。
题目五：
含谐波音阶的谱分析。
优美动听的音乐，其乐音除含有基波频率外还含有若干次谐波频率分量，其数学模型可近似表
示为
。利用 DFT 分析音阶信号 yueyin2.wav 的频谱，能否直接从频谱图确
定各乐音的频谱构成吗？若不能，请给出如何确定各乐音频谱构成的方法，并通过实验验证。
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