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开局宋老师镇楼，期末绝对不挂科。

一、第一章：行列式(det)

1.二阶行列式

二阶行列式的值=主对角线相乘-辅对角线相乘。

2.三阶行列式

三阶行列式行标取标准排列，列标取排列的所有可能。从不同行不同列取出三个元素相乘。符号由列标排列的奇偶性决定。

3.n阶行列式

3.1 排列和逆序

排列定义：由1，2，3，* * * ，n组成的一个有序数组，叫做n级排列。(中间不能缺数)

逆序：逆序指大数排在小数的前面，逆序的总数叫做逆序数，逆序个数为奇数叫做奇排列，逆序个数为偶数叫做偶排列。如N(4213)=3+1=4，为偶排列。

N(1，2,3****n)=0叫做n级标准排列(自然排列)。
例：
N(n，(n-1)***3，2，1)=n-1+n-2+ * * * ，+2+1=n(n-1)/2

数逆序数时：从第一个开始，依次数后面有几个比他小的。

对换：一个排列经过一次对换，奇偶性改变一次。
比如N(5，4，1，2，3)=4+3+0=7，对完为N(5，4，2，1，3)=4+3+1=8

定理：n级排列中，奇排列和偶排列个数相等，各占一半(n!/2)。

3.2 n阶行列式

特例：|a11|=a11，即只有一个数的行列式等于本身，那么|-1|=-1(-1的行列式也是-1)。

(主对角线上的)上、下三角和对角行列式

(主对角线上的)上、下三角和对角行列式=主对角线元素相乘。

下面三种行列式都=主对角线元素相乘。

(辅对角线上的)上、下三角和对角行列式

(辅对角线上的)上、下三角和对角行列式=[(-1)n(n-1)/2 ] 主对角线元素相乘。

3.3 n阶行列式的三种定义

按行定义

• 行标取自然排列。
• 列标取排列的所有可能。
• 不同行不同列取出不同个元素相乘。
• 符号由列标排列的逆序数的奇偶性决定。

按列定义

• 列标取自然排列。
• 行标取排列的所有可能。
• 不同行不同列取出不同个元素相乘。
• 符号由行标排列的逆序数的奇偶性决定。

第三种定义
打乱顺序，从不同行不同列取出不同个元素相乘。

• 符号由列标和行标的逆序数相加决定。
  

4.行列式的7个性质

性质1：D^T^=D 行列式的值和它转置后的值相等。

转置：将原来的行变成列，

性质2:两行互换,行列式值变号。

性质3：行列式两行(列)相等，D=0。(性质2—>性质3)

性质4:某一行都乘以k,等于用k乘以D.
推论(常用):行列式某一行有公因子,可以提到符号的外面.

• 行列式所有元素均有公因子k，k外提n次。
  

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性质5： (1)两行对应成比例，D=0
推论:
(2)某一行全为0,D=0
(3)两行相等,D=0

• 注意:由D=0并不能推出上述3个式子有一个成立。
  

性质6:行列式的某一行所有元素都是两项和,则该行列式可以表示为两个行列式相加。
是和的那一行分开,其余行保持不变.

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☆性质7: 某一行(列)k加到另一行上去,值不变.(k可以为0)

• 解题时：先处理第一列，再处理第二列，再第三列。第一列处理完后，第一行不再参与后续运算，第二行处理完后，第二行不再参与后续运算。
  一般都是最终化为上三角。用第一列第一个数消该列下面的数，用第二列第二个数消该列下面的数，用第三列第三个数消下面的数。
  

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5行列式展开

5.1(代数)余子式

上图中的指数1+4表示3是第一行第四列。

按某行(列)展开定理：行列式=任意一行中各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

一般选0多的行展开，展开后有降阶的效果：

5.2异乘变零定理

异乘变零定理：某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和=0。

5.3克莱姆法则

使用范围：

• 克莱姆法则仅适用于方程个数=未知量个数的情况。
• 系数行列式D != 0

例：

第二章：矩阵(matrix)

解方程组时，根据实际需要，提出了行列式的计算规则。为什么要提出矩阵的概念呢？很多东西都可以用矩阵来表示

例：航班信息

1.矩阵定义

矩阵是由一些数，按行按列组成的数表。假设有m行n列，就称为m*n的矩阵。

比较	行列式	矩阵
本质	一个数	数表
符号	| |	（ ）
形状	正方形	矩形

• 行矩阵：(1，1，1)
• 列矩阵：自行脑补。
• 实矩阵：所有数字都是实数。
• 复矩阵：所有数字都是复数。
• 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。(两个零矩阵不一定相等)
• 负矩阵：所有元素都是负数。
• 单位阵E：主对角线都是1，其他元素均为0。(如E3代表三阶单位阵)
• 同型矩阵:行数和列数相等。(矩阵相等的前提是同型矩阵)

2.矩阵运算

2.1矩阵加减法

加法前提：只有同型矩阵才能相加。

减法前提：只有同型矩阵才能减。

2.2矩阵乘法☆

数乘
用一个数去乘一个矩阵=这个数乘矩阵的所有元素。

提公因子

行列式：一行提一次，若所有元素都有公因子，向外提n次。
矩阵：矩阵所有元素均有公因子，向外提一次。

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• ☆矩阵相乘的前提：第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数。
• ☆结果矩阵的行数：第一个矩阵的行数。
• ☆结果矩阵的列数：第二个矩阵的列数。
  
  概括为：中间相等取两头。

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例：矩阵乘法计算

结果矩阵分别对象下表：

矩阵A的第一行*矩阵B的第一列	矩阵A的第一行*矩阵B的第二列	矩阵A的第一行*矩阵B的第三列
矩阵A的第二行*矩阵B的第一列	矩阵A的第二行*矩阵B的第二列	矩阵A的第二行*矩阵B的第三列

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矩阵乘法不满足的规律

• (1)AB有有意义，BA不一定有意义。
  

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• (2)由AB=0，不能推出A=0或B=0
• (3)由AB=AC，A!=0，不能推出B=C。
  

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矩阵乘法满足的规律

• 零矩阵0与任何矩阵A相乘=0。
• 单位阵E与任何矩阵A相乘=A。
• 乘法结合律：(AB)C = A(BC)
• 乘法分配律：(A + B)C =AC + AB
• k(AB)=(kA)B=A(kB)
  上面的运算规律中：AB的左右顺序永远不能变。

例:求和矩阵A可交换的所有矩阵(可交换必为同阶矩阵)

例：方程与矩阵的线性替换

2.3矩阵幂运算

幂运算的前提是方阵。

• 幂运算

• 同底数幂相乘：底数不变，指数相互加。

• A的0次幂=单位阵E

• 一般情况下
  
  仅当A=B时相等。

• 一般情况下
  
  

• 下面的式子是成立的
  

2.4特殊矩阵(都是方阵)

(1)数量矩阵：主对角线元素相同，其余元素均为0。(a可以为0)
$$\left[\begin{array}{cccc}a& & & \\ & a& & \\ & & \ddots & \\ & & & a\end{array}\right]$$
上面的数量矩阵 = aE

• 一个数与数量矩阵相乘，或者数量矩阵之间相加、相减结果都为数量矩阵。
• 对于数量矩阵aE和任意可乘矩阵B有：(aE)B = B(aE) = aB

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(2)对角形矩阵：主对角线元素可以不相同，其余元素均为0。
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& & & \\ & a_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & a_n\end{array}\right]$$
对角形矩阵还可以记作：$$diag(a_1,a_2,...,a_n)$$

显然，数量矩阵是一种特殊的对角形矩阵。

• 对角形矩阵之间相加、相减、相乘，仍然是对角形矩阵。其和、差、积是其主对角线对应元素相加、相减、相乘所得到的对角形矩阵。

• 矩阵与对角形矩阵相乘：左乘相当于用k乘以行，右乘相当于用k乘以列。
  

• 对角形矩阵既是上三角又是下三角，数和上(下)三角的乘积，以及上(下)三角的和、差、积均是上(下)三角。

(3)对称矩阵：以主对角线为轴，上下对应相等。(主对角线的值没有要求)
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 2& 4\\ -1& 4& 3\end{array}\right]有:a_{i}j=a_{j}i，但不常用。常用的是A^T=A$$

• 两个同阶对称矩阵的和、差、数乘、仍然是对称的，但乘积一般不是对称的。
  $$\begin{array}{r}①(A+B{)}^T=A^T+B^T=A+B\\ ②(A-B{)}^T=A^T-B^T=A-B\\ ③(kA{)}^T=k{A}^T=kA\\ ④(AB{)}^T=B^T{A}^T=BA\ne AB\end{array}$$
• 如果AB是两个同阶的对称矩阵，AB对称<=>AB可交换。

$$(AB{)}^T=B^T{A}^T=BA=AB$$

• $A{A}^T与A^{T}A都是对称的$
  $$\begin{gathered} ①(A{A}^T{)}^T=(A^T{)}^T{A}^T=A{A}^T \\ ②(A^{T}A{)}^T=A^T(A^T{)}^T=A^{T}A \\ 例:(B^{T}AB{)}^T=B^T{A}^T(B^T{)}^T=B^{T}AB \end{gathered}$$

(4)反对称矩阵：以主对角线为轴，上下对应成相反数。(主对角线的值全为0)
$$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& -3\\ -1& 0& -4\\ 3& 4& 0\end{array}\right]有:a_{i}j=-a_{j}i，但不常用。常用的是A^T=-A$$

• 两个同阶反对称矩阵的和、差、数乘、仍然是反对称的，但乘积一般不是反对称的。

3.逆矩阵

3.1方阵的行列式

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 3& 3& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right],|A|=\left|\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 3& 3& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$$

• 方阵的本质是数表，行列式的本质是一个数值。

• 方阵的行列式只是方阵的一个属性。

• 性质1：$|A^T|=|A|$ (行列式转置值不变)

• 性质2：$|kA|=k^n|A|$ (先数乘，再求行列式，k要向外提n次)☆☆☆
  $$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 2\\ 3& 3& 3\end{array}\right],|kA|=\left|\begin{array}{ccc}k& k& k\\ 2k& 2k& 2k\\ 3k& 3k& 3k\end{array}\right|=k^3|A|$$

• 性质3：$|AB|=|A|\ast |B|$(行列式的乘法定理)

例题:
$已知A为5阶行列式，|A|=3。求|-A|、|2A^T|、||A|A|$
$①|-A|=(-1{)}^5|A|=-3$
$②|2A^T=2^5|A^T|=2^5\ast 3$
$③||A|A|=|3A|=3^5|A|=3^6$

3.2伴随矩阵(只有方阵才有伴随矩阵)

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& 1& 4\end{array}\right]$$
求出所有元素的代数余子式后，按列放置
A₁₁ = 1，A₁₂ = -5，A₁₃ = 1，
A₂₁ = -3，A₂₂ = 3，A₂₃ = 0，
A₃₁ = 2，A₃₂ = -1，A₃₃ = -1，
$$得出的伴随矩阵为A^{\ast }=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -5& 3& -1\\ 1& 0& -1\end{array}\right]$$

• 伴随矩阵求法：先求出所有元素的代数余子式，再按行求按列放。
• $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$
  $$A{A}^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}|A|& 0& \cdots & 0\\ 0& |A|& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & |A|\end{array}\right]=|A|E$$
• $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$
  $|A{A}^{\ast }|=||A|E|，|A|\ast |A^{\ast }|=|A{|}^n,|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

3.3逆矩阵

$定义：设A为n阶方阵，存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称B为A的逆矩阵，记作A^{-1}=B$

• 未必所有方阵均可逆。(0B=B0=0≠E)
• 如果一个方阵可逆，逆矩阵唯一。

如何判断一个方阵可逆？

• $若方阵A满足|A|\ne 0，则该方阵A称作：非奇异、非退化、满秩。$

• $方阵A可逆的充要条件是|A|\ne 0，A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$ ☆☆☆

• $推论：如果AB都是n阶方阵，如果AB=E(或BA=E），则A可逆，且A^{-1}=B。$

求逆矩阵的方法?
(1)伴随矩阵法:

$|A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }|由于计算量太大，所以实际计算中不使用伴随矩阵法。$

(2)初等变换法√
待更。。。

3.4逆矩阵矩阵方程：