1. 投资问题建模

1.1 问题：

m元钱，n项投资，f_i(x):将x元投入第i个项目的效益 （题目会给），求使得总效益最大的投资方案

1.2 建模

问题的解：向量<x₁,x₂,…,x_n>
x_i 的意思是：投给项目i的钱数
目标函数：max{f₁(x₁) + f₂(x₂) + … + f_n(x_n)}
约束条件：x₁ + x₂ + … + x_n = m

1.3 动态规划算法

整体思想：知道给前n-1个项目如何最大效益投资之后，再决定如何投第n个项目

1.3.1 参数设定及运算顺序

• 设定参数k和参数x
  k： 考虑对项目1,2，…，k的投资
  x：投资总钱数不超过x

那么我们就是要计算 k = n 的时候，x = m的时候，让效益最大

• 为了子问题能够被后面的大的子问题重复利用，我们要确定子问题的计算顺序：从只投资一个项目，到投资n个项目；对于投资的这么多项目，钱数从0到m

1.3.2 优化函数的递推方程

设定函数F_k(x)：x元钱投给前k个项目的最大效益
递推方程为：

• F_k(x) = max{f_k(x_k) + F_k-1(x - x_k)}
  • 即:
    投资前k个项目且不超过x元钱的最大效益 = 拿x_k元钱投资第k个项目加上投资前k-1个项目且该前面k-1个项目的钱不超过x - x_k
• F₁(x) = f₁(x)

1.3.3 实例

• k = 1 时
  F₁(1) = f₁(1) = 11
  F₁(2) = f₁(2) = 12
  F₁(3) = f₁(3) = 13
  F₁(4) = f₁(4) = 14
  F₁(5) = f₁(5) = 15
• k = 2 时
  1. x = 1
     
     注意：这里省略了一些数学项，图上容易误导，实际上按照算法的思想应该为：F₂(1) = max{f₂(1) + F₁(0),f₂(0) + F₁(1)}，而省略的那些项就为0，所以算法里也直接没写，备忘录也没有写；下面的图一样省略了
  2. x = 2
     
     • 按照这个计算顺序也刚好可以验证：可以 重复利用前面子问题的结果
  3. x = 3
     
  4. 类似计算F₂(4) = 21，F₂(5) = 26
• k = 3
  1. x = 1
  2. …
  3. x = 4
     F₃(4) = max{f₃(4) + F₂(0)，f₃(3) + F₂(1)，f₃(2) + F₂(2)，f₃(1) + F₂(3)，f₃(0) + F₂(4)}

1.3.3.1 备忘录与解

• x_k(x) 的值代表此时给第k个项目投了多少钱
  • 比如表格中x₂(2) = 0 代表当 k = 2，x = 2时，给最后一个项目投了0元钱

求解
先从右下角开始求

1. x₅ = 1 即 x₄ = 1，第4个项目投1万元
   

2. 这时x₃(5 - 1) = x₃(4)，看表格中 k = 3，x = 4
   
   此时x₃(4) = 3，也就是给第3个项目投3万元

3. …

4. 求出
   

1.3.4 时间复杂度分析

通过递推方程分析

F_k(x) 要计算x + 1次加法、x次比较
即

W(n) = O(nm²)