干货：实验

实验原理

线性时不变系统用微分方程描述：
y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t) (2-1)

（1）系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到。

在MATLAB中，用lsim函数求解LTI的零状态响应，其调用形式为： y=lsim(sys,f,t) (2-2)
其中，t表示计算系统响应的抽样点向量，f是系统输入信号向量，sys是LTI系统模型，用来表示微分方程，差分方程，状态方程。在求解微分方程时，微分方程的LTI系统模型sys要借助MATLAB中的tf函数来获得，其调用形式为： sys=tf(b,a) (2-3)
式中，向量a表示响应及其各阶导数的系数：a=[ an an-1 … a1 a0],一般an=1；
向量b表示激励及其各阶导数的系数： b=[ bm bm-1 … b1 b0]
t表示计算响应所需的时间向量。例如t＝c∶d∶e,其中c是起始时间,e是结束时间,d是时间增量。为了做出平滑的曲线,向量t的增量需要取得足够小。需要注意的是,这里向量a和b的样本值都是按照导数阶数递减的次序排列的。
也可以把式（3-2）、（3-3）合在一起用，即调用格式为： y=lsim(b,a,f,t) (2-4)

（2）系统的单位冲激响应是单位冲激信号作用在系统产生的零状态响应。

在MATLAB中，用impulse函数求解LTI的冲激响应，调用形式为： y=impulse (b,a,t)

例题

微分方程为是
，输入激励为
，求其零状态响应和单位冲激响应,并与用解析式表示的结果进行比较。

示例代码和结果

用MATLAB函数求解冲激响应的程序如下：

clc;clear
t=[0:0.1:10];
b=[1];
a=[1 3];
x=exp(-1*t);
yf=lsim(b,a,x,t);
yf1=(1/2)*(exp(-1*t)-exp(-3*t));
plot(t,yf,'o',t,yf1,'r');
title('零状态响应');
xlabel('t');ylabel('yf(t)');
legend('lsim函数计算结果','解析式计算结果');
h=impulse(b,a,t);
h1=exp(-3*t);
figure;
plot(t,h,'o',t,h1,'r');
title('单位冲激响应');
xlabel('t');ylabel('h(t)');
legend('impulse函数计算结果','解析式计算结果');

补充概念

连续时间系统

连续时间系统是指在时间上是连续的，输入和输出都是连续的系统，通常是指实际电路系统或控制系统中的一类系统。在连续时间系统中，我们通常关注系统对输入信号的响应，包括冲激响应和零状态响应。

冲激响应

冲激响应是指在输入信号为单位冲激函数时，系统的输出响应。通常我们可以使用拉氏变换将输入信号从时域转换到频域，这样系统的输出可以表示为输入信号与系统的传递函数之积。在连续时间系统中，传递函数通常使用频率响应函数表示，也可以使用冲击响应函数表示。在输入为单位冲击函数时，传递函数的频率响应函数为1。因此，冲激响应可以表示为系统的冲击响应函数。

零状态响应

另一方面，零状态响应是指在时间t=0时，系统的状态是未知的，而输入信号是已知的，系统在这种情况下的响应。零状态响应可以通过将输入信号从时域转换到频域，然后与系统的频率响应函数相乘，再将结果从频域转换回时域得到。因此，零状态响应可以表示为系统的单位阶跃响应函数。单位阶跃响应函数是指在输入信号为单位阶跃函数的情况下，系统的输出响应。

总结

在实际应用中，我们通常需要知道系统的冲激响应和零状态响应。例如，我们可以使用系统的冲激响应来分析系统的稳定性和频率响应特性。此外，我们可以使用系统的零状态响应来分析系统对不同输入信号的响应特性。因此，在设计和分析连续时间系统时，冲激响应和零状态响应是非常重要的概念。

总之，连续时间系统的冲激响应和零状态响应是在时间上连续的系统中非常重要的概念。通过了解系统的冲激响应和零状态响应，我们可以更好地理解系统的特性，进而设计和优化连续时间系统。