首先介绍一个特殊的方阵$J\in R^{2n\times 2n}$，其定义如下：
$J=\left[\begin{array}{cc}{O}_n& I_n\\ -I_n& O_n\end{array}\right]$
其中$O_n\in R^{n\times n}$是零矩阵；$I_n\in R^{n\times n}$是单位矩阵。

那么这个矩阵具有下列的性质：
$J^T=-J$
$J^{-1}=J^T$
$J^{T}J=I_{2n}$
$J^T{J}^T=-I_{2n}$
$J^2=-I_{2n}$
$detJ=\pm 1$

哈密顿矩阵（Hamiltonian matrix）定义

一个矩阵$A\in R^{2n\times 2n}$叫哈密顿矩阵如果$JA$ 是对称的，也就是说：
$JA=(JA{)}^T\Rightarrow A^{T}J+JA=0$，其中$J$就是上面介绍的特殊矩阵。
令H={A∈R2n×2n∣ATJ+JA=0}\mathcal{H} =\{A \in R^{2n\times 2n}|A^TJ+JA = 0\}H={A∈R2n×2n∣ATJ+JA=0}为$2n\times 2n$的哈密顿矩阵的集合。

以下三条性质是等价的：

1. $A$是一个哈密顿矩阵
2. $A=JS$，其中$S=S^T$
3. $(JA{)}^{\top }=JA$

定理：
令$A,B\in {\mathcal{H}}^n$，那么下面定理是对的：

1. $A+B\in {\mathcal{H}}^n$
2. $\alpha A\in {\mathcal{H}}^n$
3. $[A,B]\in {\mathcal{H}}^n$，其中$[A,B]\stackrel{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}AB-BA$

结果：$(\mathcal{H},[\cdot ,\cdot ])$是个李代数（Lie algebra）。

定理

令$A\in {\mathcal{H}}^n$，$p_A(x)$为矩阵$A$的特征多项式，那么：

• $p_A(x)=p_A(-x)$
• 如果$p_A(c)=0$，那么$p_A(-c)=p_A(\bar{c})=p_A(-\bar{c})=0$，其中$c\in R$。

代数Riccati Equation

首先定义不变子空间（invariant subspace）
由向量$v_1,,...v_k$张成的线性空间$\nu$叫做矩阵$A$的不变子空间如果对于任意$v\in \nu ,Av\in \nu$。
考虑下面的代数Riccati Equation （ARE）：
$0=R(x)=F+A^{T}X+XA+XA-XGX（1）$，
其中$A,F,G,X\in R^{n\times n}$，$F,G$是对称矩阵，$X$是未知的对称矩阵。
定义$H=\left[\begin{array}{cc}A& G\\ F& -A^T\end{array}\right]$，令$\left[\begin{array}{c}U\\ V\end{array}\right]$
是$H$的不变子空间的一个向量，
也就是说
$\left[\begin{array}{cc}A& G\\ F& -A^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}U\\ V\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}U\\ V\end{array}\right]Z,(2)$
其中$Z\in R^{n\times n},\lambda (Z)\subset \lambda (H)$。
假定$U$是非奇异的，那么从 $(2)$的第一行得到：
$AU+GV=UZ\leftrightarrow U^{-1}AU+U^{-1}GV=Z$。
将其插入第二行得到的方程：
$FU-A^{T}V=VZ=V{U}^{-1}AU+V{U}^{-1}GV$。
以上方程等于
$0=F-A^{T}V{U}^{-1}-V{U}^{-1}A-V{U}^{-1}GV{U}^{-1}$。
令$X:=-V{U}^{-1}$，我们发现$X$正好是$(1)$的解。

定理

考虑哈密顿矩阵$H$，假设该矩阵没有特征值在虚轴上，其不变子空间是${\chi }_{-}=Im\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\end{array}\right]\subset R^{2n\times n}$
这是一个由稳定特征值对应的特征向量张成的空间。
如果$X_1$是可逆的，那么$X=-X_2{X}_1^{-1}$是代数Ricatti方程的解，并且$A-GX$是稳定的。