机械振动基础

一、简谐振动

1. 简谐振动

   （1）简谐运动的定义：

   ①动力学定义

   物体受到线性恢复力作用：$F=-kx$

   则：
   $$\begin{gathered} m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx \\ 令\frac{k}{m}={\omega }^2 \\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0 \end{gathered}$$
   ②动力学方程定义

   上式微分方程求解得到：
   $$x=Acos(\omega t+\phi )，其中A和\phi 为常数$$

2. 谐运动的振幅，周期，频率和相位

   （1）振幅：物体离开平衡位置的最大距离；取正值，反应振动的强度，由初始状况决定

   （2）周期和频率
   $$\begin{gathered} 周期：T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\ 频率：v=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}} \\ 周期频率表示下的谐振动方程：x=Acos(\frac{2\pi }{T}t+\phi )=Acos(2\pi vt+\phi ) \end{gathered}$$

   （3）相位

   $\omega t+\phi$称为相位，常量$\phi$是t=0时的相位
   $$\begin{gathered} 时间：0\to t \\ 相位：0\to 2\pi \end{gathered}$$

3. 振动参量的确定

   (1)$\omega ,T,v$：描写振动快慢的参量，由系统本身确定
   $$\begin{gathered} 弹簧振子：\omega =\sqrt{\frac{k}{m}},T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\ 单摆：\omega =\sqrt{\frac{g}{l}},T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \\ 复摆：\omega =\sqrt{\frac{mgl}{J}},T=2\pi \sqrt{\frac{J}{mgl}} \end{gathered}$$
   (2)$A,\phi$：描写振动状态，由初始条件决定
   $$\begin{gathered} t=0时？\{\begin{array}{l}{x}_0=?\\ v_0=?\end{array} \\ 解出A和\phi \end{gathered}$$
   (3)推论：

   若振动系统除了受弹性力外，还受一恒力作用，则系统的振动规律不变，但坐标原点要取在新的平衡位置上

上述振动均为简谐振动，周期和角速度相同
$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}};T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
但平衡位置改变。

4. 谐振动的能量

   $$\begin{gathered} E=E_k+E_p \\ x=Acos(\omega t+\phi ) \\ v=-A\omega sin(\omega t+\phi ) \\ {E}_k=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }^{2}si{n}^2(\omega t+\phi ) \\ {E}_p=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^{2}co{s}^2(\omega t+\phi ) \\ \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \end{gathered}$$

   有上面推导可以得到：
   $$E=E_k+E_p=\frac{1}{2}k{A}^2$$

   • $E\propto A^2$在简谐运动中普遍成立
   • 做一次全振动$E_k$和$E_p$转换2次（即：能量转换周期等于$\frac{1}{2}$振动周期）
   • 在一个周期内，平均动能和平均势能相等

5. 谐运动的旋转矢量表示法

   作图和表示不再赘述，注意求时间时，用下面的公式即可：
   $$\frac{2\pi }{T}=\frac{\Delta \phi }{\Delta t}$$

• 利用相差比较两振动（同频）的步调是否一致
  $$\begin{gathered} x_1=Acos(\omega t+{\phi }_1) \\ {x}_2=Acos(\omega t+{\phi }_2) \end{gathered}$$

$$
(\omega t+\varphi_1)-(\omega t+\varphi_1)=\varphi_2-\varphi_1=
\begin{cases}
2k\pi
(2k+1)\pi

0，x_2比x_1
<0，x_2比x_1
\end{cases}
$$

• 弹簧的串并联

  并联：$k=k_1+k_2$

  串联：$k=\frac{k_1{k}_2}{k_1+k_2}$

  推论：n个相同的弹簧串联$k=\frac{k_0}{n}$

  n个相同的弹簧并联：$k=n{k}_0$

6. 几种常见的谐振动

   (1)单摆
   $$\begin{gathered} M=J\beta \\ -mglsin\theta =m{l}^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2} \\ \therefore \frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{g}{l}\theta =0 \\ 令{\omega }^2=\frac{g}{l};则有\theta ={\theta }_{A}cos(\omega t+\phi ) \\ T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}};{\theta }_A为振幅，\phi 为初相 \end{gathered}$$
   (2)复摆（物理摆）

二、谐运动的合成

两列波相遇，相遇区域的任意质点的振动是二振动的叠加

1、同方向，同频率的谐振动的合成

同方向指的是：同在x(y)轴上振动；

任意时刻，两个振动的位移分别是：
$$\begin{gathered} x_1=A_{1}cos(\omega t+{\phi }_1) \\ {x}_2=A_{2}cos(\omega t+{\phi }_2) \\ x=x_1+x_2 \end{gathered}$$
经过变量替换后得到：
$$x=Acos(\omega t+\phi )$$
振幅和相位变换：
$$\begin{gathered} A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2(cos{\phi }_2-cos{\phi }_1)} \\ \phi =arctan\frac{A_{1}sin{\phi }_1+A_{2}sin{\phi }_2}{A_{1}cos{\phi }_1+A_{2}cos{\phi }_2} \\ \omega 不变 \end{gathered}$$

$$当\Delta \phi =\{\begin{array}{l}2k\pi 时：同相合成A=A_1+A_2\\ (2K+1)\pi 时：反相合成A=|A_1-A_2|\end{array}$$

2.同方向不同频率的谐振动合成

(1)一般情况
$$\begin{gathered} x_1=A_{1}cos({\omega }_{1}t+\phi ) \\ {x}_2=A_{2}cos({\omega }_{2}t+\phi ) \\ 设A_0=A_1=A_2;{\phi }_1={\phi }_2=0(不影响结果的普适性) \\ x=x_1+x_2=2A_{0}cos(\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{2})t\cdot cos(\frac{{\omega }_2+{\omega }_1}{2})t \\ 一般情况下不具有周期性，不是谐振动 \end{gathered}$$
(2)特例：拍

当$|{\omega }_2-{\omega }_1|<<{\omega }_1+{\omega }_2$时，相减的那一项很缓慢。我们将振动方程变化为：
$$\begin{gathered} A=|2A_{1}cos\frac{1}{2}({\omega }_2-{\omega }_1)t| \\ x=Acos(\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2})t \end{gathered}$$
所以：
$$\begin{gathered} 合振动振幅：A_{max}=2A_0 \\ 合振动的圆频率：\omega =\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2} \end{gathered}$$
拍频 : 单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即
$$v=|({\omega }_2-{\omega }_1)/2\pi |=|v_2-v_1|$$

3、相互垂直的谐振动的合成

(1)初相差$\Delta \phi$为0，同相合成
$$\begin{gathered} x=Asin\omega t \\ y=Bsin\omega t \end{gathered}$$
轨迹方程：$y=\frac{B}{A}x$

(2)初相差$\Delta \phi$为$\pi$，反相合成
$$\begin{gathered} x=Asin\omega t \\ y=Bsin(\omega t+\pi ) \end{gathered}$$
(3)初相差为$\frac{\pi }{2}$时，轨迹为一椭圆，顺时针转，初始位置在（0,B）

(4)初相差为$-\frac{\pi }{2}$时，轨迹为一椭圆，逆时针转,初始位置在(0,-B)

4、互相垂直频率不同的谐振动的合成

$$\begin{gathered} x=Asin\omega t \\ y=Bsin(\omega t+\pi ) \end{gathered}$$
(3)初相差为$\frac{\pi }{2}$时，轨迹为一椭圆，顺时针转，初始位置在（0,B）

(4)初相差为$-\frac{\pi }{2}$时，轨迹为一椭圆，逆时针转,初始位置在(0,-B)

4、互相垂直频率不同的谐振动的合成

横、纵边切点数比=纵、横方向振动频率之比