1. K—近邻算法简介

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1. K—近邻算法（KNN）的概念

K Nearest Neighbor 算法又称KNN算法，这个算法是机器学习里一个比较经典的算法，总体来说是比较简单的。

1）定义

一个样本与在特征空间中k个最相似（即样本空间中距离最近）的大多数样本属于同一个类别。

来源：KNN算法最早是由Cover和Hart提出的一种分类算法。

2）距离公式

两个样本的距离可以通过如下公式计算，又叫欧式距离：

• 二维平面上点a(x₁, y₁)与b(x₂, y₂)的欧式距离：$d_{12}=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$
• 三维空间点a(x₁, y₁, z₁)与b(x₂, y₂, z₂)的欧氏距离：$d_{12}=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}$
• n维空间点a(x₁₁, x₁₂,…,x_1n)与b(x₂₁, x₂₂,…,x_2n)间的欧式距离（两个n维向量）：$d_{12}=\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k}{)}^2}$

2. 电影类型分析

假设我们现在有很多部电影。

序号	电影名称	搞笑镜头	拥抱镜头	打斗镜头	电影类型
1	功夫熊猫	39	0	31	喜剧片
2	叶问3	3	2	65	动作片
3	二次曝光	2	3	55	爱情片
4	代理情人	8	34	17	爱情片
5	新步步惊心	8	34	17	爱情片
6	谍影重重	5	2	57	动作片
7	美人鱼	21	17	5	喜剧片
8	宝贝当家	45	2	9	喜剧片
9	唐人街探案	23	3	17	？

其中9号电影不知道类别，如何去预测？我们就可以用到K近邻算法的思想，其中每一个样本都可以看做是一个n维向量，使用公式$d_{12}=\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k}{)}^2}$来计算9号电影和其余样本的相似程度。

序号	电影名称	搞笑镜头	拥抱镜头	打斗镜头	电影类型	与9号电影的距离	K=5时
1	功夫熊猫	39	0	31	喜剧片	21.47	相似
2	叶问3	3	2	65	动作片	52.01
3	二次曝光	2	3	55	爱情片	43.42
4	代理情人	8	34	17	爱情片	40.57	相似
5	新步步惊心	8	34	17	爱情片	34.44	相似
6	谍影重重	5	2	57	动作片	43.87
7	美人鱼	21	17	5	喜剧片	18.55	相似
8	宝贝当家	45	2	9	喜剧片	23.43	相似

找出了K个距离最近的电影，此时K=5，就找了5个最相似的电影。

3. KNN算法流程总结

1）计算已知类别数据集中的点与当前点之间的距离

2）按照距离递增次序排序

3）选取与当前点距离最小的K个点

4）统计前K个点所在类别出现的频率

5）返回前K个点出现频率最高的类别作为当前点的预测分类

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2. K—近邻算法api初步使用

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sklearn.neighbors.KNeighborsClassifier(n_neighbors=5)：参数只有一个n_neighbors，为int类型，默认值为5，表示查询默认使用的邻居数。

下面我们用一个案例来使用以下这个函数。

1. 步骤分析

1）获取数据集

2）数据基本处理（该案例中省略）

3）特征工程（该案例中省略）

4）机器学习

5）模型评估（该案例中省略）

2. 代码实现

# 1. 导入模块
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

# 2. 构造数据集
x = [[1], [2], [10], [20]] # 特征值
y = [0, 0, 1, 1] # 目标值

# 3. 机器学习 —— 模型训练

# 3.1 实例化api
estimator = KNeighborsClassifier(n_neighbors=1)
# 3.2 使用fit方法进行训练
estimator.fit(x, y)
# 3.3 进行预测
ret = estimator.predict([[1]])

# 打印预测结果
print(ret)

输出：

[0]

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3. 距离度量

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1. 欧式距离（Euclidean Distance）

1）二维平面上点a(x₁, y₁)与b(x₂, y₂)的欧式距离：$d_{12}=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$

2）三维空间点a(x₁, y₁, z₁)与b(x₂, y₂, z₂)的欧氏距离：$d_{12}=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}$

3）n维空间点a(x₁₁, x₁₂,…,x_1n)与b(x₂₁, x₂₂,…,x_2n)间的欧式距离（两个n维向量）：$d_{12}=\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k}{)}^2}$

2. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）

在曼哈顿街区，要从一个十字路口开车到另一个十字路口，驾驶距离显然不是两点间的直线距离。这个实际驾驶距离就是“曼哈顿距离”，曼哈顿距离也称为“城市街区距离”（City Block distance）。

• 二维平面两点a(x₁, y₁)与b(x₂, y₂)间的曼哈顿距离：$d_{12}=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$

• n维空间点a(x₁₁, x₁₂,…,x_1n)与b(x₂₁, x₂₂,…,x_2n)间的曼哈顿距离：$d_{12}=\sum _{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|$

3. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）

国际象棋中，国王可以直行、横行、斜行，所以国王走一步可以移动到相邻8个方格中的任意一个。国王从格子(x₁, y₁)走到格子(x₂, y₂)最少需要多少步？这个距离就叫切比雪夫距离。

• 二维平面两点a(x₁, y₁)与b(x₂, y₂)间的切比雪夫距离：$d_{12}=max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)$
• n维空间点a(x₁₁, x₁₂,…,x_1n)与b(x₂₁, x₂₂,…,x_2n)间的切比雪夫距离：$d_{12}=max(|x_{1k}-x_{2k}|)$

4. 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）

闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义，是对多个距离度量公式的概括性的表述。两个n维向量a(x₁₁, x₁₂,…,x_1n)与b(x₂₁, x₂₂,…,x_2n)间的闵可夫斯基距离定义为：

$$d_{12}=\sqrt[p]{\sum _{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}{|}^p}$$

其中p是一个变量参数：

• 当p=1时，就是曼哈顿距离；
• 当p=2时，就是欧式距离；
• 当p$\to \infty$，就是切比雪夫距离。

根据p的不同，闵氏距离可以表示某一类/种的距离。

1）注意：闵氏距离、曼哈顿距离、欧氏距离、和切比雪夫距离都存在明显的缺点：

• 二维样本（身高[单位：cm]，体重[单位：kg]），现有3个样本：a(180, 50), b(190, 50), c(180, 60)。a与b的闵氏距离，等于a与c的闵氏距离。但实际上身高的10cm并不能和体重的10kg划等号。

2）闵氏距离的特点：

• 将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”相同的看待了；
• 未考虑各个分量的分布（期望，方差等）可能是不同的。

5. 标准化欧氏距离（Standardized EuclideanDistance）

标准化欧氏距离是针对欧氏距离的缺点进行的一种改进。思路：既然数据各分量的分布不一样，那就先将各个分量都“标准化”到均值，方差相等。

$s_k$表示各个维度的标准差：

• 标准化欧式距离公式：$d_{12}=\sqrt{\sum _{k=1}^n(\frac{x_{1k}-x_{2k}}{s_k}{)}^2}$

如果将方差的倒数看成一个权重，也可以称之为加权欧氏距离（Weighted Euclidean distance）。

6. 余弦距离（Consine Distance）

几何中，夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异。机器学习中，借用这一概念来衡量样本之间的差异。

• 二维空间中向量a(x₁, y₁)与向量B(x₂, y₂)的夹角余弦公式：$\cos \theta =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$
• 两个n维样本点a(x₁₁, x₁₂,…,x_1n)与b(x₂₁, x₂₂,…,x_2n)的夹角余弦为：$\cos \theta =\frac{\sum _{k=1}^n{x}_{1k}{x}_{2k}}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

夹角余弦取值范围为[-1, 1]。余弦越大表示两个向量的夹角越小，余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时，余弦取最大值1；相反时，取最小值-1。

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4. K值的选择

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1. 直观解释：

序号	电影名称	搞笑镜头	拥抱镜头	打斗镜头	电影类型
1	功夫熊猫	39	0	31	喜剧片
2	叶问3	3	2	65	动作片
3	二次曝光	2	3	55	爱情片
4	代理情人	8	34	17	爱情片
5	新步步惊心	8	34	17	爱情片
6	谍影重重	5	2	57	动作片
7	美人鱼	21	17	5	喜剧片
8	宝贝当家	45	2	9	喜剧片
9	唐人街探案	23	3	17	？

• K值过小时，容易受到异常点的影响。
• K值过大会受样本均衡的影响。

就比如有一个电影和唐人街探案的距离很近，但是这个电影是异常的，这时就会得到不准确的结果；如果上述各类型的电影分布很均匀，那么当K值过大时，筛选出的相似电影可能类型分布也很均匀，这时就会出现问题。

2. 概念性解释：

1）选择较小的K值，就相当于用较小领域中的训练实例进行预测，“学习”近似误差会减小，只有与输入实例较近或相似的训练实例才会对预测结果起作用，与此同时带来的问题是“学习”的估计误差会增大，也就是说K值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合；

2）选择较大的K值，就相当于用较大领域中的训练实例进行预测，其优点是可以减少学习的估计误差，但缺点是学习的近似误差会增大。这时，与输入实例较远（不相似）的训练实例也会对预测器作用，是预测发生错误，且K值的增大就意味着整体的模型变得简单，容易欠拟合；

3）K=N（N为训练样本个数），完全不足取，因为此时无论输入实例是什么，都只是简单的预测它属于在训练实例中最多的类，模型过于简单，忽略了训练实例中的大量有用信息。

在实际应用中，K一般取较小值。

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5. kd树

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问题导入：

实现k近邻算法时，主要考虑的问题是如何对训练数据进行快速k近邻搜索。这在特征空间的维数大及训练数据容量时尤其必要。

k近邻算法最简单的实现是线性扫描（穷举搜索），即要计算输入实例与每一个训练实例的距离。计算并存储好以后，再查找k近邻。当训练集很大时，计算非常耗时。

为了提高KNN搜索的效率，可以考虑使用特殊的结构存储训练数据，以减小计算距离的次数。

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5.1 构造kd树

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1. 什么是kd树？

kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储，以便对其进行快速检索的树形数据结构。

• 本质：二叉树（一般是平衡二叉树），表示对k维空间的一个划分；
• 构造过程：不断地用垂直于坐标轴的超平面将k维空间切分，形成k维超矩形区域；
• 注意：kd树的每一个节点对应于一个k维超矩形区域；平衡的kd树搜索时未必是最优的。

2. 构造kd树

先输入k维空间数据集 T = {x₁, x₂, …, x_N}，其中 x_i = (x_i⁽¹⁾, x_i⁽²⁾, …, x_i^(k))^T，再输出kd树：

1）开始：构造根节点。

• 选取方差最大的一组特征作为坐标轴，假设是$x_i^{(1)}$对应的一组特征，以训练集中的所有数据$x^{(1)}$坐标中的中位数作为切分点，将超矩形区域切分成两个子区域，以该切分点作为根节点；
• 由根节点生出深度为1的左右子节点，左节点对应坐标小于切分点，右节点对应坐标大于切分点。

2）重复

• 对深度为$j$的节点，选择$x^{(I)}$为切分坐标轴，$I=j\mathrm{mod}k+1$，以该节点区域中所有实例$x^{(I)}$坐标的中位数作为切分点，将该区域划分为两个子区域；
• 生成深度为$j+1$的左右子节点。左节点对应坐标小于切分点，右节点对应坐标大于切分点。

3）结束

• 直到两个子区域没有实例时停止。

3. 上例题：以一个二维的样本空间为例

输入：训练集$T=\{(2,3),(5,4),(9,6),(4,7),(8,1),(7,2)\}$

$x^{(1)}$轴对应的数：$2,5,9,4,8,7$；$x^{(2)}$轴对应的数：$3,4,6,7,1,2$。

1）开始：

• 经过计算可知，x轴对应的这一串数字（这项特征）方差较大，选用x轴中的中位数5或7做切分点，这里我们选择7，切分整个区域。
  

2）重复：

• 以$x^{(2)}$为坐标轴，选择中位数，左边区域为4，右边区域两个任取一个，这里取较大数6。故左边区域切分点为$(5,4)$，右边区域切分点为$(9,6)$；
  

• 划分左边区域：此时$I=1$，重新从最开始选取的轴$x^{(1)}$开始切。以$x^{(1)}$为坐标轴，选择中位数，此时上下两个区域都只剩一个点了，全选上作为切分点；
  

• 划分右边区域：同上，以$x^{(1)}$为左边轴，选取切分点（只有一个）。
  

3）输出kd树：

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5.2 搜索kd树

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输入：已构造的kd树，目标点x。
输出：x的最近邻点。

1. 基本流程：

1）寻找“当前最近点”

• 从根节点出发，递归访问kd树，找出包含x的最近邻点；
• 以此叶节点为“当前最近点”。

2）回溯

• 回溯过程中，若该节点比“当前最近点”距离目标点更近，更新“当前最近点”；
• 当前最近点一定存在于该节点一个子节点对应的区域，检查子节点的父节点的另一子节点对应的区域是否有更近的点。

3）结束

• 当退回到根节点时，搜索结束，最后的“当前最近点”即为x的最近邻点。

2. 实例：

现有kd树：

1）输入目标点$x=(2.1,3.1)$，求最近邻点。

• 查找“当前最近邻点”：

先找到根节点$x(7,2)$，因为目标节点$(2.1,3.1)$的横坐标小于7，所以先从kd树的左子树（左边区域）开始搜索；因为目标节点的纵坐标小于4，所以从下边区域开始搜索；下边区域只有一个点$(2,3)$，目标点$(2.1,3.1)$就在点$(2,3)$的右边区域中，故$(2,3)$就是当前的最近邻点。

• 回溯：

以目标点为圆心，到当前最近邻点$(2,3)$的距离为半径画圆（如果是多维空间，就是画一个超球面了）。先回溯到目标节点的父节点，也就是当前最近邻点$(2,3)$，发现圆和$(2,3)$划分的左半部分平面（不含分界线）是有交集的，所以要先搜索左半部分平面；发现左半部分平面没有一个点，重新回溯到$(2,3)$；再回溯到当前最近邻点的父节点$(5,4)$，计算这个节点到目标点的距离，发现比圆的半径大，不更新数据；随后发现图中圆和$(5,4)$划分的上半部分平面（不含分界线）是没有交集的，说明不可能从$(5,4)$上半部分所对应的子区域中，找到更近的点；回溯到根节点，发现图中圆和根节点划分的右半部分区域也是没有交集的，所以最近邻点也不可能在根节点划分的右半部分，也不可能是根节点。

• 结束：

回溯到了根节点，停止回溯，找到最近邻点$(2,3)$。

2）输入目标点$x=(2,4.5)$，求最近邻点。

• 查找“当前最近邻点”：

和1中的步骤一样，先找到了当前最近邻点$(4,7)$。

• 回溯：

以目标点为圆心，到当前最近邻点的距离为半径画圆。先回溯到目标节点的父节点$(4,7)$，发现圆和$(4,7)$所划分的右半部分平面是有交集的，先搜索右半部分平面；发现没有一个点，重新回溯到$(4,7)$；再回溯到父节点$(5,4)$，计算该节点到目标点的距离，发现比原来的圆半径小，更新最近邻点，重新画圆；随后发现，重新画的圆和$(5,4)$划分的下半部分区域有交集，搜索下半部分区域，发现只有一个点；计算父节点的下半部分子区域中的子节点到目标点的距离，发现该距离比原来的圆半径要小，更新最近邻点为$(2,3)$，并重新画圆；

直接回溯到根节点，计算根节点到目标点的距离，发现比图中圆的半径要大，不更新数据；随后发现图中圆和根节点划分的右半部分区域没有交集，所以最近邻点不可能在根节点划分的右半部分，也不可能是根节点。

• 结束：

回溯到了根节点，停止回溯，找到最近邻点$(2,3)$。

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5.3 kd树代码实现

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适用于n维向量：

import math
import numpy as np


class Node:
    def __init__(self, data, lchild = None, rchild = None):
        self.data = data
        self.lchild = lchild
        self.rchild = rchild


class KdTree:
    def __int__(self):
        self.kdTree = None

    def create(self, dataSet, depth): # 构造kd树
        if len(dataSet) > 0: # 还有实例，就往下分
            m, n = np.shape(dataSet)    # 求出样本的行和列
            midIndex = m // 2           # 求出中位数的索引
            if depth == 0: # 深度等于0时说明是根节点，轴已经选好，不用再判断
                arr = list(dataSet.var(axis=0))  # 先转成list，不然无法使用index函数
                max_value = max(arr)  # 确定方差最大的那一列
                axis = arr.index(max_value)  # 确定初始划分坐标
            else:
                axis = depth % n        # 判断以哪个轴划分数据，由于索引从0开始，所以不用+1
            sortedDataSet = sorted(dataSet, key=lambda x: x[axis]) # 按照指定轴进行排序
            node = Node(sortedDataSet[midIndex]) # 在树中放入节点
            node.lchild = self.create(sortedDataSet[: midIndex], depth + 1) # 递归构造左子树
            node.rchild = self.create(sortedDataSet[midIndex + 1 :], depth + 1) # 递归构造右子树
            return node # 返回根节点
        else:
            return None

    def preOrder(self, node): # 前序遍历二叉树
        if node != None:
            print(node.data)
            self.preOrder(node.lchild)
            self.preOrder(node.rchild)

    def search(self, node, x): # 搜索kd树
        self.nearestPoint = None  # 保存当前最近点
        self.nearestValue = math.inf  # 保存当前最近距离（圆的半径）math.inf是无穷大
        def travel(node, depth = 0): # 递归搜索
            if node != None: # 递归终止条件
                if depth == 0:  # 深度等于0时说明是根节点，轴已经选好，不用再判断
                    arr = list(dataSet.var(axis=0))  # 先转成list，不然无法使用index函数
                    max_value = max(arr)  # 确定方差最大的那一列
                    axis = arr.index(max_value)  # 确定初始划分坐标
                else:
                    axis = depth % len(x)  # 判断以哪个轴划分数据，由于索引从0开始，所以不用+1
                if x[axis] < node.data[axis]: # 如果数据小于节点对应坐标数据，则往左节点搜索
                    travel(node.lchild, depth + 1)
                else:
                    travel(node.rchild, depth + 1)
            else:
                return

            # 递归完毕后，开始回溯
            distNodeAndX = self.dist(x, node.data) # 目标点和当前最近点的距离
            if self.nearestValue > distNodeAndX: # 更新最近邻点
                self.nearestPoint = node.data
                self.nearestValue = distNodeAndX

            if abs(x[axis] - node.data[axis]) < self.nearestValue: # 确定是否要去子节点的区域找最近邻点（圆的判断）
                if x[axis] > node.data[axis]:
                    travel(node.rchild, depth + 1)
                else:
                    travel(node.lchild, depth + 1)

        travel(node)
        return self.nearestPoint # 返回最近邻点

    def dist(self, x1, x2): # 欧式距离计算
        return ((x1 - x2) ** 2).sum() ** 0.5


if __name__ == '__main__':
    # 准备数据
    dataSet = np.array([[2, 3],
                        [5, 4],
                        [9, 6],
                        [4, 7],
                        [8, 1],
                        [7, 2]])
    x = [2, 4.5] # 目标点

    # 处理数据
    kdtree = KdTree() # 初始化kd树
    tree_root = kdtree.create(dataSet, 0) # 接收根节点（根节点深度为0）

    # 前序遍历
    kdtree.preOrder(tree_root) # 检查kd树是否正确建立

    # 搜索最近邻点
    print("最近邻点：", kdtree.search(tree_root, x))

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