初等复变函数
指数函数性质对数函数性质幂函数性质三角函数性质反三角函数性质双曲函数性质反双曲函数性质
1. 指数函数
（1）定义
e z = e x ( c o s y + i s i n y ) e^z = e^x(cos~y+i~sin ~y) ez=ex(cos y+i sin y)
欧 拉 公 式 ： e i θ = c o s θ + i s i n θ 欧拉公式：e^{i\theta} = cos\theta + i~sin\theta 欧拉公式：eiθ=cosθ+i sinθ
（2）运算法则
- 乘 法 ： e z 1 ⋅ e z 2 = e z 1 + z 2 乘法：e^{z_1}·e^{z_2} = e^{z_1 + z_2} 乘法：ez1⋅ez2=ez1+z2
- 除 法 ： e z 1 ⋅ e z 2 = e z 1 + z 2 除法：e^{z_1}·e^{z_2} = e^{z_1 + z_2} 除法：ez1⋅ez2=ez1+z2
（3） 性质
- e z 在 全 平 面 上 解 析 e^z在全平面上解析 ez在全平面上解析
- ∣ e z ∣ = e x |e^z| = e^x ∣ez∣=ex
- A r g e z = y + 2 k π Arg~e^z = y + 2k\pi Arg ez=y+2kπ
- e z ≠ 0 e^z ≠ 0 ez=0
- e z + 2 k π i = e z ， 以 2 k π i 为 周 期 的 函 数 e^{z + 2k\pi i} = e^z，以2k\pi i为周期的函数 ez+2kπi=ez，以2kπi为周期的函数
- 当 z 趋 于 ∞ 时 ， e z 没 有 极 限 当z趋于\infty时，e^z没有极限 当z趋于∞时，ez没有极限
当z延实轴区域负无穷，极限为0
2. 对数函数
（1）定义
ω = L n z = l n ∣ z ∣ + i A r g z . \omega = Ln~z = ln|z| + iArgz. ω=Ln z=ln∣z∣+iArgz.
l n z = l n ∣ z ∣ + i a g r z ln~z = ln|z| +iagrz ln z=ln∣z∣+iagrz
（2）运算法则
- 加 法 ： L n z 1 + L n z 2 = L n z 1 z 2 加法：Ln~z_1 + Ln~z_2 = Ln~z_1z_2 加法：Ln z1+Ln z2=Ln z1z2
- 减 法 ： 减法： 减法：
（3） 性质
l n z 在 除 原 点 及 负 实 轴 的 平 面 内 解 析 。 ln~z在除原点及负实轴的平面内解析。 ln z在除原点及负实轴的平面内解析。
L n z 在 除 原 点 及 负 实 轴 的 平 面 内 解 析 。 Ln~z在除原点及负实轴的平面内解析。 Ln z在除原点及负实轴的平面内解析。
3. 幂函数
（1）定义
z α = e α L n z z^\alpha = e^{\alpha Lnz} zα=eαLnz
规 定 ： 当 α 为 正 实 数 且 z = 0 时 ， z α = 0 规定：当\alpha为正实数且z=0时，z^\alpha = 0 规定：当α为正实数且z=0时，zα=0
（2）性质
4. 三角函数
定义
c o s z = 1 2 ( e i z + e − i z ) ; cos~z = \frac{1}{2}(e^{iz} + e^{-iz}); cos z=21(eiz+e−iz);
s i n z = 1 2 i ( e i z − e − i z ) ; sin~z = \frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}); sin z=2i1(eiz−e−iz);
t a n z = s i n z c o s z , tan~z = \frac{sin~z}{cos~z}, tan z=cos zsin z,
c o t z = c o s z s i n z , cot~z = \frac{cos~z}{sin~z}, cot z=sin zcos z,
s e z z = 1 c o s z , sez~z = \frac{1}{cos~z}, sez z=cos z1,
c s c z = 1 s i n z . csc~z = \frac{1}{sin~z}. csc z=sin z1.
性质
c o s z 和 s i n z 均 为 单 值 函 数 ； cos~z和sin~z均为单值函数； cos z和sin z均为单值函数；
c o s z 和 s i n z 均 为 以 2 π 为 周 期 的 周 期 函 数 ； cos~z和sin~z均为以2\pi为周期的周期函数； cos z和sin z均为以2π为周期的周期函数；
c o s z 为 偶 函 数 ， s i n z 为 奇 函 数 cos~z为偶函数，sin~z为奇函数 cos z为偶函数，sin z为奇函数
c o s ( z 1 + z 2 ) = cos(z_1 + z_2)= cos(z1+z2)=
s i n ( z 1 + z 2 ) = sin(z_1 + z_2) = sin(z1+z2)=
s i n 2 z + c o s 2 z = 1. sin^2z + cos^2z = 1. sin2z+cos2z=1.
5. 反三角函数
定义
A r c s i n z = − i L n ( i z + 1 − z 2 ) ; Arcsin~z =-iLn(iz+\sqrt{1-z^2}); Arcsin z=−iLn(iz+1−z2);
A r c t a n z = i 2 L n i + z i − z . Arctan~z = \frac{i}{2}Ln\frac{i+z}{i-z}. Arctan z=2iLni−zi+z.
6. 双曲函数
定义
s h z = e z − e − z 2 sh~z = \frac{e^z - e^{-z}}{2} sh z=2ez−e−z
c h z = e z + e − z 2 ch~z = \frac{e^z + e^{-z}}{2} ch z=2ez+e−z
c h z = e z − e − z e z + e − z ch~z = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}} ch z=ez+e−zez−e−z
c o t h z = e z + e − z e z − e − z coth~z = \frac{e^z + e^{-z}}{e^z - e^{-z}} coth z=ez−e−zez+e−z
性质
7. 反双曲函数
定义
A r s h z = L n ( z + z 2 + 1 ) Arsh~z=Ln(z + \sqrt{z^2+1}) Arsh z=Ln(z+z2+1)
A r s h z = L n ( z + z 2 − 1 ) Arsh~z=Ln(z + \sqrt{z^2-1}) Arsh z=Ln(z+z2−1)
A r t h z = 1 2 L n 1 + z 1 − z Arth~z=\frac{1}{2}Ln~\frac{1+z}{1-z} Arth z=21Ln 1−z1+z
A r c o t h z = 1 2 L n z + 1 z − 1 Arcoth~z = \frac{1}{2}Ln\frac{z+1}{z-1} Arcoth z=21Lnz−1z+1
性质
有“AI”的1024 = 2048，欢迎大家加入2048 AI社区
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