前言

电力电子论文中常常出现基于频域的分析，非正弦的激励源往往用傅里叶级数的形式表示。这里对最常见的两种激励源即方波和三电平波形进行傅里叶级数的搭建。常见的操作方法是选择初始位置，因为波形是周期性的，因此选择性使得波形呈现奇函数或者偶函数特性会使得傅里叶级数的系数算起来更方便一点。

本文涉及知识：微积分，三角函数，工程数学

一、基本数学原理

傅里叶级数的推导过程这里就省略了，因为有很多博主都写过，这里推荐一下b站DR_CAN的相关视频，链接: DR_CAN 傅里叶级数与傅里叶变换
这里直接给出最后的结论
对于周期为$2\pi$的函数展开为傅里叶级数的表达式为
$$f_T(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$
其中，$$\{\begin{array}{l}{a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}_T(x)\cos nx\mathrm{d}x\\ b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}_T(x)\sin nx\mathrm{d}x\end{array}$$
注意这里的$f_T(x)$为函数的值，方波和三电平的波形在每一个时间片段都是有个常数，因此很好计算。

二、方波的傅里叶级数

如图所示，为方波的波形。
注意，这里将起始点设在方波的正负交替处是为了让方波为奇对称，根据傅里叶的级数，可以看出该波形为奇对称，因此只有正弦分量，没有直流分量和余弦分量。
$$\begin{array}{rl}& b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{f}_T\left(\omega t\right)\sin n\omega t\text{d}\omega t\\ & =\frac{1}{\pi }\left({\int }_0^{\pi }V\sin n\omega t\text{d}\omega t+{\int }_{\pi }^{2\pi }-V\sin n\omega t\text{d}\omega t\right)\\ & =\frac{V}{\pi }\left(-\frac{1}{n}\cos n\omega t{|}_0^{\pi }+\frac{1}{n}\cos n\omega t{|}_{\pi }^{2\pi }\right)\\ & =\frac{V}{n\pi }\left(-\cos n\pi +1+1-\cos n\pi \right)\end{array}$$
当n为偶数时，$$b_n=0$$当n为奇数时$$b_n=\frac{4V}{n\pi }$$
因此，在该起始位置的方波的傅里叶级数展开式为
$$v=\frac{4V}{n\pi }\sum _{n=1,3,\mathrm{5...}}^{\infty }\sin n\omega t$$

三、三电平波形的傅里叶级数

同样，为了保证奇函数特性，这里取零电平的中点为原点所在位置。

根据傅里叶的级数，可以看出该波形为奇对称，因此只有正弦分量，没有直流分量和余弦分量。

$$\begin{array}{rl}& b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{f}_T\left(\omega t\right)\sin n\omega t\text{d}\omega t\\ & =\frac{1}{\pi }\left({\int }_{\frac{\alpha }{2}}^{\pi -\frac{\alpha }{2}}V\sin n\omega t\text{d}\omega t-{\int }_{\pi +\frac{\alpha }{2}}^{2\pi -\frac{\alpha }{2}}V\sin n\omega t\text{d}\omega t\right)\\ & =\frac{V}{\pi n}\left(-\cos n\omega t{|}_{\frac{\alpha }{2}}^{\pi -\frac{\alpha }{2}}+\cos n\omega t{|}_{\pi +\frac{\alpha }{2}}^{2\pi -\frac{\alpha }{2}}\right)\\ & =\frac{V}{\pi n}\left(2\cos n\frac{\alpha }{2}-\cos \left(n\left(\pi -\frac{\alpha }{2}\right)\right)-\cos \left(n\left(\pi +\frac{\alpha }{2}\right)\right)\right)\end{array}$$
当n为偶数时，$$b_n=0$$当n为奇数时$$b_n=\frac{4V_1}{\pi n}\cos n\frac{\alpha }{2}$$
因此，在该起始位置的方波的傅里叶级数展开式为
$$v=\frac{4V}{n\pi }\sum _{n=1,3,\mathrm{5...}}^{\infty }\cos \left(n\frac{\alpha }{2}\right)\sin n\omega t$$

四、五电平波形的傅里叶级数

假设三电平波形是$a$相的波形，$b$相的波形是$a$相波形的相反数且延迟了$\beta$，如下图所示
因此，$v_{an}$表示为$$v_{an}=\frac{4V}{n\pi }\sum _{n=1,3,\mathrm{5...}}^{\infty }\cos \left(n\frac{\alpha }{2}\right)\sin n\omega t$$
$v_{bn}$表示为$$v_{bn}=-\frac{4V}{n\pi }\sum _{n=1,3,\mathrm{5...}}^{\infty }\cos \left(n\frac{\alpha }{2}\right)\sin n\left(\omega t-\beta \right)$$
由于$v_{ab}=v_{an}-v_{bn}$
则$$\begin{array}{rl}& v_{ab}=\frac{4V}{n\pi }\sum _{n=1,3,\mathrm{5...}}^{\infty }\cos \left(n\frac{\alpha }{2}\right)\sin n\omega t-\left(-\frac{4V}{n\pi }\sum _{n=1,3,\mathrm{5...}}^{\infty }\cos \left(n\frac{\alpha }{2}\right)\sin n\left(\omega t-\beta \right)\right)\\ & =\frac{4V}{n\pi }\sum _{n=1,3,\mathrm{5...}}^{\infty }\cos \left(n\frac{\alpha }{2}\right)\left(\sin n\omega t+\sin n\left(\omega t-\beta \right)\right)\\ & =\frac{4V}{n\pi }\sum _{n=1,3,\mathrm{5...}}^{\infty }\cos \left(n\frac{\alpha }{2}\right)\sqrt{A^2+B^2}\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin n\omega t-\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos n\omega t\right)\\ & =\frac{4V}{n\pi }\sum _{n=1,3,\mathrm{5...}}^{\infty }\cos \left(n\frac{\alpha }{2}\right)\sqrt{A^2+B^2}\sin \left(n\omega t-\theta \right)\\ & \{\begin{array}{rl}& A=1+\cos n\beta ,B=\sin n\beta \\ & \theta ={\tan }^{-1}\frac{B}{A}\end{array}\end{array}$$
验证：
当$\beta =0时代入，A=2,B=0$则$$v_{ab}=\frac{8V}{n\pi }\sum _{n=1,3,\mathrm{5...}}^{\infty }\cos \left(n\frac{\alpha }{2}\right)\sin \left(n\omega t\right)=2v_{an}$$可以验证所计算的正确性。
不过可以发现公式并不是奇函数，这是为$a,b$相错相的原因。为了功率分析的简便，这里还是将其写成奇函数的形式。写成奇函数，则以五电平波形的零电平的中点为观察位置分析。
则有
$$\begin{array}{rl}& b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{f}_T\left(\omega t\right)\sin n\omega t\text{d}\omega t\\ & =\frac{2}{\pi }\left({\int }_{\frac{\alpha -\beta }{2}}^{\frac{\alpha +\beta }{2}}V\sin n\omega t\text{d}\omega t+{\int }_{\frac{\alpha +\beta }{2}}^{\pi -\frac{\alpha +\beta }{2}}2V\sin n\omega t\text{d}\omega t+{\int }_{\pi -\frac{\alpha +\beta }{2}}^{\pi -\frac{\alpha -\beta }{2}}V\sin n\omega t\text{d}\omega t\right)\\ & =\frac{2V}{\pi n}\left(-\cos n\omega t{|}_{\frac{\alpha -\beta }{2}}^{\frac{\alpha +\beta }{2}}-2\cos n\omega t{|}_{\frac{\alpha +\beta }{2}}^{\pi -\frac{\alpha +\beta }{2}}-\cos n\omega t{|}_{\pi -\frac{\alpha +\beta }{2}}^{\pi -\frac{\alpha -\beta }{2}}\right)\\ & =\frac{2V}{\pi n}\left(\begin{array}{rl}& -\cos n\frac{\alpha +\beta }{2}+\cos n\frac{\alpha -\beta }{2}-2\cos n\left(\pi -\frac{\alpha +\beta }{2}\right)+2\cos n\frac{\alpha +\beta }{2}\\ & -\cos n\left(\pi -\frac{\alpha -\beta }{2}\right)+\cos n\left(\pi -\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\end{array}\right)\end{array}$$

当n为偶数时，$$b_n=0$$当n为奇数时$$b_n=\frac{8V}{\pi n}\cos n\frac{\alpha }{2}\cos n\frac{\beta }{2}$$
因此，在该起始位置的方波的傅里叶级数展开式为
$$v_{ab}=\frac{8V}{n\pi }\sum _{n=1,3,\mathrm{5...}}^{\infty }\cos n\frac{\alpha }{2}\cos n\frac{\beta }{2}\sin n\omega t$$

总结和后续工作

此篇博客主要介绍了如何详细推导电力电子论文中的非正弦激励的傅里叶级数表达形式，主要以方波，三电平和五电平波形为例，详细推导了计算过程，方便理解。
后续工作主要集中在论文推导理解方面的工作。
往期链接：
二阶线性微分方程求解
正弦激励响应公式推导
串联谐振型DAB的LC等效电路的归一化推导
电力电子论文中方波和类方波的傅里叶级数形式推导