• 灰色预测模型

灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论，是一般系统论、信息论、控制论的观点和方法在社会、经济、生态等抽象系统中的延伸,是运用经典数学知识解决信息不完备系统的理论和方法。灰色系统是指部分信息已知部分信息末知的信息不完备系统。

灰色预测的主要特点是模型使用的不是原始数据序列, 而是生成的数据序列，即对原始数据作累加生成（或其它方法生成）得到近似的指数规律 再进行建模的方法。

1. 模型的评价

优点：不需要很多的数据,一般只需要4个数据就够, 能解决历史数据少、序列的完整性及可靠性低的问题;能利用微分方程来充分挖掘系统的本质, 精度高; 能将无规律的原始数据进行生成得到规律性较强的生成序列，运算简便，易于检验，具有不考虑分布规律，不考虑变化趋势。

缺点：只适用于中短期的预测,只适合指数增长的预测

2.灰色GM(1,1)预测模型

数据序列在累加后呈现出指数形式的单调递增规律，联想到微分方程 具有指数形式的解 ，由此提出一阶灰色方程模型，即GM(1,1)模型，其中的第1个1表示1阶微分方程，第2个1表示只含1个变量的灰色模型。

1. GM(1,1)模型预测步骤

   • 数据的检验与处理

为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列作必要的检验处理。首先要进行级比检验

• 建立模型（建立微分方程模型）

  

  ​​该模型是1阶1个变量的微分方程，记为GM(1,1)。

• 为了辨识模型参数 ，在区间 上，令：

  

  

  化为离散模型为：

   式称为灰色微分方程。

  则由最小二乘法，求得使 达到最小值的的估计值。

误差检验

• 相对误差检验（计算相对误差）

• 

  ​​​​​​​

这里 ，如果 ，则可认为达到一般要求；如果 ，则认为达到较高的要求。

级比偏差值检验

首先由参考序列计算出级比 ，再用发展系数 求出相应的级比偏差。

 ​​​​如果 ，则可认为达到一般要求；如果 ，则认为达到较高的要求。

预测预报

由GM(1,1) 模型得到指定点的预测值，根据实际问题的需要，给出相应的预测预报。

• 案列分析

例2： 由1995~2001年中国蔬菜产量，具体数据见表15.1，建立模型预测2002年中国蔬菜产量，并对预测结果做检验。

年代	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
产量	25723	30379	34473	38485	40514	42400	48337

• 操作步骤：

1. 数据的检验

参考序列 ​​​​​​​建立GM（1,1）模型

1. 模型的建立与求解

构造累加序列和均值生成序列，得到参数的估计值

 ​​​​得GM(1,1)模型为：

微分方程：

2、白化方程：

3、白化方程的时间响应式：

1. 模型的检验与预测

年份	实际数据	预测数据	残差	相对误差（%）
1995	25723	25723	0	0
1996	30379	31327.3567	-948.3567	3.12
1997	34473	34081.5622	391.4378	1.14
1998	38485	37077.9091	1407.0909	3.66
1999	40514	40337.6857	176.3143	0.44
2000	42400	43884.0518	-1484.0518	3.50
2001	48337	47742.2036	594.7964	1.23
2002		51939.5524

结论：所有的相对误差 ​​​​​​​，所以模型精度为优，可以用来预测，2002年的预测值为51939.5524。

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