1.介绍

MPC(Model Predictive Control)，即模型预测控制，是一种进阶的过程控制方法。相比于LQR和PID算法只能考虑输入输出变量的各种约束，MPC算法可以考虑状态空间变量的约束。可以应用于线性和非线性的系统中。
参考资料：

1. MPC教学
2. 421施公队的MPC教学视频

2.MPC四要素

(1) 模型:采用阶跃响应

(2) 预测

(3) 滚动优化:

二次规划
$$J\left(x\right)=x^2+bx+c$$
极值点
$$J^{\prime }\left(x_0\right)=0$$
(4) 误差补偿

参数定义

P:预测步长
$$y\left(k+1\right),y\left(k+2\right)\dots y(k+P)$$
M:控制步长
$$∆u(k),∆u(k+1)\dots ∆u(k+M)$$

3.推导过程

(1)模型

假定在T,2T…PT时刻模型对应的输出为
$$a_1,a_2\dots a_p$$
则根据线性系统的叠加原理:
$$y\left(k\right)=a_1\ast u\left(k-1\right)+a_2\ast u\left(k-2\right)+a_M\ast u(k-M)$$

增量式:
$$∆y\left(k\right)=a_1\ast ∆u\left(k-1\right)+a_2\ast ∆u\left(k-2\right)+a_M\ast ∆u(k-M)$$

(2)预测:共预测P个时刻

$∆y(k+1)=a_1\ast ∆u(k)$

$∆y(k+2)=a_1\ast ∆u(k)+1+a_2\ast ∆u(k)$

$∆y(k+P)=a_1\ast ∆u(k+P-1)+a_2\ast ∆u(k+P-2)\dots +a_M\ast ∆u(k+P-M)$

转为矩阵表示:
$$\sum _{i=1}^M{a}_i\ast ∆u(k+P-i)$$

新的预测输出 = 原预测输出 + 增量输入
$$\begin{gathered} {\hat{Y}}_0=A\ast ∆u+Y_0 \\ \left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\hat{Y}}_0(k+1)\\ {\hat{Y}}_0(k+2)\end{array}\\ \begin{array}{c}⋮\\ {\hat{Y}}_0(k+P)\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{a}_1& 0\\ a_2& a_1\end{array}& \begin{array}{cc}\cdots & 0\\ \cdots & 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}⋮& ⋮\\ a_P& a_{P-1}\end{array}& \begin{array}{cc}\ddots & ⋮\\ \cdots & a_{P-M+1}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}∆u(k)\\ ∆u(k+1)\end{array}\\ \begin{array}{c}⋮\\ ∆u(k+M)\end{array}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{Y}_0(k+1)\\ Y_0(k+2)\end{array}\\ \begin{array}{c}⋮\\ Y_0(k+P)\end{array}\end{array}\right] \end{gathered}$$

(3)滚动优化

注：求解出来的∆u为M*1的向量，取第一个，即$∆u_0$作为输入的增量。

1. 参考轨迹
   使用一阶滤波处理:
   $$\omega \left(k+i\right)={\alpha }^{i}y\left(k\right)+(1-{\alpha }^i)y_r(k)$$

2. 代价函数（与最优化控制相似）
   形式一

   目标一：离目标越近越好
   $$J_1=\sum _{i=1}^P{\left[y\left(k+i\right)-\omega \left(k+i\right)\right]}^2$$

   目标二：能量消耗越小越好
   $$J_2=i=\sum _{i=1}^M[∆u(k+i-1){]}^2$$

   合体得到总的代价函数
   $$J=q{J}_1+r{J}_2$$

   q和r都是权重系数，它们的相对大小表示更看重哪个指标，越大说明越看重。

   矩阵形式：
   $$J={\left(r-\omega \right)}^{T}Q\left(R-\omega \right)+∆u^{T}R∆u$$
   其中，Q和R大多数为对角阵（一般不考虑协方差矩阵，即不同变量之间相互影响的情况）
   $$\left[\begin{array}{cccc}{q}_1& 0& ...& 0\\ 0& q_2& ...& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& q_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{r}_1& 0& ...& 0\\ 0& r_2& ...& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& r_n\end{array}\right]$$
   最优解：
   $$\frac{\partial \mathrm{J}(\Delta u)}{\partial (\Delta u)}=0\to \Delta u={\left({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Q}\mathrm{A}+\mathrm{R}\right)}^{-1}{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\left(\omega -{\mathrm{Y}}_0\right)$$
   形式二

   • 基于$u_k,u_{k+1}...u_{k+N-1}进行最优化$
     $$J=\sum _k^{N-1}(E_k^{T}Q{E}_k+u_k^{T}R{u}_k)+\underset{terminalpredictstatus}{\underbrace{E_N^{T}F{E}_N}}$$

(4)反馈校正，误差补偿

• k时刻，预测P个输出：
  $${\hat{Y}}_0\left(k+1\right)，{\hat{Y}}_0\left(k+2\right)...{\hat{Y}}_0\left(k+P\right)$$

• k+1时刻，当前输出为：
  $$y(k+1)$$

• 误差：
  $$e\left(k+1\right)=y\left(k+1\right)-{\hat{Y}}_0\left(k+1\right)$$

h:补偿系数，取值范围0-1，习惯0.5

补偿：
$$\begin{gathered} y_{cor}\left(k+1\right)={\hat{Y}}_0\left(k+1\right)+h_1\ast e\left(k+1\right) \\ {y}_{cor}\left(k+2\right)={\hat{Y}}_0\left(k+2\right)+h_2\ast e\left(k+1\right) \\ ⋮ \\ {y}_{cor}\left(k+P\right)={\hat{Y}}_0\left(k+P\right)+h_P\ast e\left(k+1\right) \end{gathered}$$
矩阵表示：
$$Y_{cor}={\hat{Y}}_0+H\ast e(k+1)$$

滚动更新预测输出：

K+1时刻：
$${\hat{Y}}_0=S\ast Y_{cor}$$

S:移位矩阵(PxP)
$$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}& \begin{array}{cc}\cdots & 0\\ \cdots & ⋮\end{array}\\ \begin{array}{cc}⋮& ⋮\\ 0& 0\end{array}& \begin{array}{cc}\ddots & 1\\ \cdots & 1\end{array}\end{array}\right]$$

补充:代价函数的推导