如何理解复连通区域的格林公式

上面那个网图，我借用说明下。首先声明一点：格林公式只对单连通区域生效。但是如何求复连通区域的∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\iint_D(\frac {\partial Q} {\partial x} -\frac {\partial P} {\partial y})dxdy∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy ?切割成两个单连通区域，然后对两个单连通区域分别使用格林公式。∬D(∂Q∂x−

oneslide

27138人浏览 · 2020-12-28 23:24:21

oneslide · 2020-12-28 23:24:21 发布

在这里插入图片描述
上面那个网图，我借用说明下。

首先声明一点：格林公式只对单连通区域生效。

但是如何求复连通区域的 $∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\iint_D(\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y})dxdy$ ?

切割成两个单连通区域，然后对两个单连通区域分别使用格林公式。

$\iint_{D} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy= \iint_{D_1} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy +\iint_{D_2} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy = \oint_{C_1+C_2}Pdx+Qdy$

因为红色部分抵消。加入只剩下内部的顺时针线l和外部的逆时针线L.

则复连通区域下格林公式为：
$\iint_{D} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy= \oint_L(Pdx+Qdy) - \oint_l (Pdx+Qdy)$
其中 $L, l$ 都是逆时针线。

那么如果理解同济七版p208的例题4.

那个题首先：

$\frac {\partial Q} {\partial x} = \frac {\partial P} {\partial y} \to \iint_{D} (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) dxdy =0$