拉马努金的几个神仙公式。据说他的论文里一共发表了14条圆周率的计算公式，但目前只收集到十个。

$$\begin{array}{rlrl}\frac{1}{\pi }& =\frac{1}{8}\sum _{m=0}^{\infty }(20m+3)\frac{(-1{)}^m(4m)!}{(4\sqrt{2}{)}^{4m}(m!{)}^4}& \frac{1}{\pi }& =\frac{1}{2\sqrt{3}}\sum _{m=0}^{\infty }(8m+1)\frac{(4m)!}{(4\sqrt{3}{)}^{4m}(m!{)}^4}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{\sqrt{3}}{16}\sum _{m=0}^{\infty }(28m+3)\frac{(-1{)}^m(4m)!}{(64\sqrt{3}{)}^{2m}(m!{)}^4}& \frac{1}{\pi }& =\frac{2\sqrt{2}}{9}\sum _{m=0}^{\infty }(10m+1)\frac{(4m)!}{12^{4m}(m!{)}^4}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{1}{72}\sum _{m=0}^{\infty }(260m+23)\frac{(-1{)}^m(4m)!}{(12\sqrt{2}{)}^{4m}(m!{)}^4}& \frac{1}{\pi }& =\frac{3\sqrt{3}}{49}\sum _{m=0}^{\infty }(40m+3)\frac{(4m)!}{28^{4m}(m!{)}^4}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{1}{18\sqrt{11}}\sum _{m=0}^{\infty }(280m+19)\frac{(4m)!}{(12\sqrt{11}{)}^{4m}(m!{)}^4}& \frac{1}{\pi }& =\frac{\sqrt{5}}{288}\sum _{m=0}^{\infty }(644m+41)\frac{(-1{)}^m(4m)!}{(1152\sqrt{5}{)}^{2m}(m!{)}^4}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{2}{84^2}\sum _{m=0}^{\infty }(21460m+1123)\frac{(-1{)}^m(4m)!}{(84\sqrt{2}{)}^{4m}(m!{)}^4}& \frac{1}{\pi }& =\frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum _{m=0}^{\infty }(26390m+1103)\frac{(4m)!}{396^{4m}(m!{)}^4}\end{array}$$

1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良。
$$\frac{1}{\pi }=12\sum _{m=0}^{\infty }\frac{545140134m+13591409}{640320^{3m+\frac{3}{2}}}\times \frac{(-1{)}^m(6m)!}{(3m)!(m!{)}^3}$$

百度拉马努金公式，搜索结果是最后一条，所以公式改良应该也是针对最后一条

用代码验证第一条公式：
我这里循环写到了26。因为循环在26到43之间取值都一样，毕竟笔记本精度有限；当超过43时，程序运行出错，毕竟笔记本能力有限

import math

sum = 0
for m in range(26):
    x = (20*m+3)*((-1)**m)*math.factorial(4*m)
    y = ((4*math.sqrt(2))**(4*m))*(math.factorial(m))**4
    sum = sum + x/y

pi = 8/sum

# π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
print(pi)

print(math.pi)

'''
可以看到效果还是很不错的，起码比math库多一位，但真实值应该是2，准确度还差点。
3.1415926535897936
3.141592653589793
'''

改良公式：（改良还是有道理的，2到18取值一样，超过18，程序出错）

import math

sum = 0
for m in range(2):
    x = (545140134*m+13591409)*((-1)**m)*math.factorial(6*m)
    y = ((640320)**(3*m+1.5)) * (math.factorial(3*m)) * (math.factorial(m))**3
    sum = sum + x/y


pi = 1/(12*sum)

# π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
print(pi)

print(math.pi)


'''
3.1415926535897936
3.141592653589793
'''

写了个Java代码，发现效果并不理想，循环超过10，输出就为NaN。
以下Java代码输出结果为：3.1463949385904666。而同是循环10次的python结果为：3.141593404158244
除了Math函数自身会将数值部分丢失，最大的问题就是Java的数据类型限制了范围。

    public static void main(String[] args) {

        Double sum = 0.0;
        for (int m = 0; m < 10; m++) {
            Double x = (20*m+3)*(Math.pow(-1, m))*factorial(4*m);
            Double y = (Math.pow(4*Math.sqrt(2), 4*m))*power(factorial(m),4);
            sum += x/y;
        }

        Double pi = 8/sum;

        System.out.println(pi);

    }


    // 利用递归计算阶乘
    public static int factorial(int num){
        int sum = 1;
        if(num==1 || num==0){
            return 1;
        }else{
            sum=num * factorial(num-1);//运用递归计算
            return sum;
        }
    }

    // 计算次方
    public static int power(int num, int n){
        int pow = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            pow *= num;
        }
        return pow;
    }