1-1统计数字问题

（一）题目

问题描述

一本书的页码从自然数 1 开始顺序编码到自然数$n$。书的页码按照通 常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导 0。例如，第 6 页用数字 6 表示而不 是 06 或 006 等。数字计数问题要求对给定书的总页码$n$，计算书的全部页码分别 用到多少次数字 0，1，2，……，9。

算法设计

给定表示书的总页码的十进制整数$n(1\le n\le 10^9)$，计算书的全部页 码中分别用到多少次数字 0，1，2，……，9。 数据输入：输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供。每个文件只有1行， 给出表示书的总页码的整数$n$。

结果输出

将计算结果输出到文件 output.txt。输出文件共 10 行，在第 $k(k=1,2,\dots \dots ,10)$行输出页码中用到数字$ k-1$ 的次数。

（二）解答

方法1.暴力

算法思路

从 0 到$n$依次遍历每一页的页码，把页码从低位到高位用循环依次拆开，记录每个数字的出现次数。

举例

源代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<fstream>

using namespace std;

//读取
int read(); 
//写入
void write(int a[]);
//计算总页码0-9出现的次数
void solution(int n, int a[]);

int main()
{
    int a[10] = {0};
    //从输入文件获取总页数n
    int n = read();
    //计算0-9出现的次数
    solution(n, a);
    //将0-9的出现次数写入输出文件
    write(a);
    return 0;
}

int read()
{
    ifstream ifs;
    //打开输入文件
    ifs.open("G:\\algorithm\\data\\1_1_input.txt", ios::in);
    //读取数据
    int n;
    ifs>>n;
    //关闭输入文件
    ifs.close();
    //返回总页数n;
    return n;
}

void write(int a[])
{
    ofstream ofs;
    //创建输出文件
    ofs.open("G:\\algorithm\\data\\1_1_1out.txt", ios::out);
    //写入数据
    for (int i = 0; i < 10; ++i)
    {
        ofs<<a[i]<<endl;
    }
    //关闭输出文件
    ofs.close();
}

void solution(int n, int a[])
{
    //依次遍历每一页的页码i
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        //用t暂时存储页码i
        int t = i;
        //从右往左依次记录t每一位上的数字的出现次数，直到t=0
        while (t)
        {
            a[t % 10]++;
            t /= 10;
        }
    }
}

方法2.递归

算法思路

对于从 $n$ 个 0 到 $n$ 个 9 的数，它们中 0-9 出现的次数相同，记为$f(n)$

通过观察可以得出递归式：
$$f(n)=\{\begin{array}{l}1,n=1\\ 10f(n-1)+10^{n-1},n>1\end{array}$$
整理可得：
$$f(n)=n10^{n-1}$$
因此，我们可以利用这个规律进行运算：

（1）递归计算 0（包含前导 0）到𝑛各数字出现的次数

设页码数$n$的位数为$c$，最高位为$m$，除最高位外的部分为$r$。 0（包含前导 0）到$n$的数由三部分构成：

第一部分是$m$组$c-1$个 0 到 9 的数，这部分 0 到 9 出现的次数相同，均为$m(c-1)10^{c-2}$次；

第二部分为最高位，0 到 $m-1$各出现$10^{c-1}$次，$m$出现$r+1$次；

第三部分为 0（包含前导 0）到 $r$ 的数，按照同样的方法进行递归，直到 r 的位数为 1，0 到$r$ 各出现一次。

值得注意的是，计算机计算$r$时是不带前导 0 的，如果$n$中间出现 0，这部分的 0 将被略去，因此，我们要把这部分的 0 补上。设$r$的位数为$cr$，则需要补上$(c-cr-1)(r+1)$个 0。

（2）减去多余的前导 0

对于位数为$c$的页码数$n$多余的前导 0 个数为$10^0+\cdots +10^{c-1}$

举例

以$n$=2222为例，先递归计算 0（包含前导 0）到𝑛各数字出现的次数

注意$n$的中间有0的情况

例如当$n$=1003时，计算机计算$r$的结果为3（不带前导0），但我们知道$r=003$（带上前导0）才是正确的结果，中间的0要补上

然后删去多余的前导0，对于一个位数为$c$数$n$，它的前导0个数是固定的

将所有位置上的多余前导0加起来删去即可得最终结果

源代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<fstream>
#include<cmath>

using namespace std;

//读取
int read(); 
//写入
void write(int a[]);
//求n的位数
int digit(int n);
//计算n个0到n个9中0-9各出现的次数
int f(int n);
//递归计算总页码0-9出现的次数
void solution(int n, int a[]);
//减去多余的0
void substract(int n, int a[]);

int main()
{
    int a[10] = {0};
    //从输入文件获取总页数n
    int n = read();
    //递归计算0-9出现的次数
    solution(n, a);
    //减去多余的0
    substract(n, a);
    //将0-9的出现次数写入输出文件
    write(a);
    return 0;
}

int read()
{
    ifstream ifs;
    //打开输入文件
    ifs.open("G:\\algorithm\\data\\1_1_input.txt", ios::in);
    //读取数据
    int n;
    ifs>>n;
    //关闭输入文件
    ifs.close();
    //返回总页数n;
    return n;
}

void write(int a[])
{
    ofstream ofs;
    //创建输出文件
    ofs.open("G:\\algorithm\\data\\1_1_2out.txt", ios::out);
    //写入数据
    for (int i = 0; i < 10; ++i)
    {
        ofs<<a[i]<<endl;
    }
    //关闭输出文件
    ofs.close();
}

int digit(int n)
{
    return (int)log10(n) + 1;
}

int f(int n)
{
    //n=0时无法通过公式求n的位数
    if (n == 0)
    {
        return 1;
    }
    return n * (int)pow(10.0, n - 1);
}

void solution(int n, int a[])
{
    //求n的位数c，c-1个0到9中0-9出现的次数相同
    int c = digit(n);
    //递归到只剩个位的情况
    if (c == 1)
    {
        for (int i = 0; i <= n; ++i)
        {
            a[i]++;
        }
        return;
    }
    //求n的最高位m，共有m组c-1个0到9的数
    int m = n / (int)pow(10.0, c - 1);
    //求n的最高位以外的数r
    int r = n % (int)pow(10.0, c - 1);
    //求m组c-1个0到9中0-9出现的次数
    for (int i = 0; i <= 9; ++i)
    {
        a[i] += m * f(c - 1);
    }
    //再处理最高位
    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {
        a[i] += (int)pow(10.0, c - 1);
    }
    a[m] += r + 1;
    //如果r的位数不是c-1，说明n中间含有0，把这些0补上
    int cr = digit(r);
    if (cr != c - 1)
    {
        a[0] += (c -cr - 1) * (r + 1);
    }
    //递归处理r中0-9出现的次数
    solution(r, a);
}

void substract(int n, int a[])
{
    int c = digit(n);
    for (int i = 0; i < c; ++i)
    {
        a[0] -= (int)pow(10.0, i);
    }
}

结果示例

输入：

输出：

（三）总结

对两种方法进行复杂度分析，结果如下：

方法1.暴力
$$\begin{array}{rl}t(n)& =n\times ((lo{g}_{10}1+1)+(lo{g}_{10}2+1)+...+(lo{g}_{10}n+1))+10\\ & =n\times (lo{g}_{10}1+lo{g}_{10}2++...+lo{g}_{10}n+n)+10\\ & <n\times (1+2+...+n+n)+10\\ & =\mathrm{O}(n^2)\end{array}$$
方法2.递归
$$\begin{array}{rl}t(n)& =\lfloor lo{g}_{10}n\rfloor \times (10+\lfloor \frac{n}{10^{\lfloor lo{g}_{10}\rfloor +1}}\rfloor )+nMOD10+(\lfloor lo{g}_{10}n\rfloor +1)+10\\ & =\mathrm{O}(nlogn)\end{array}$$
可以看到递归的复杂度小于暴力