目录：

1. 一个小故事

2. 概率 VS 似然

3. 极大似然估计

4. -2Loglikelihood

5. AICc

6. BIC

一、一个小故事

有两个人：阿超和阿花；阿超老大不小，需要成家：某天遇见同事阿花，想着自己英俊潇洒、风流倜傥、才华横溢又谦虚非常；所以阿超认为阿花对自己有好感。

但是怎么判断阿花对自己是否有好感呢？

阿超了解到阿花每天都会拿1个冰淇淋，如果给阿超了，那就表明有好感；于是连续10天，阿超共得到了0个冰淇淋，问：阿花对阿超是否有好感？

二、概率 VS 似然

由上，有：

数据（既定事实）：连续 10 天，阿超得到了 0 个冰淇淋。

模型/参数（隐藏的规则）：阿花对阿超的好感度（即每天愿意把冰淇淋给阿超的概率）。

概率 (Probability) 是在问：“如果规则（好感度）是确定的，发生这件事的可能性有多大？”

阿超的幻想（算概率）： 

    假设阿超开了上帝视角，确切知道“阿花极其暗恋我”（规则确定，每天给冰淇淋的概率是 90%）。那么，阿花连续 10 天都不给我冰淇淋的可能性有多大？ 

    算一下概率：0.1^{10}，这是一个极小极小的概率，几乎不可能发生。

似然 (Likelihood) 是在问：“既然这件事已经发生了，那么某个规则（好感度假设）显得有多么顺理成章？”

残酷的现实（算似然）： 现实是，连续 10 天拿 0 个冰淇淋这件事已经发生了。

    这时，阿超依然摸着自己英俊潇洒的脸庞说：“阿花肯定对我有好感！” 但作为旁观者，我们这个假设“合理”吗？，“顺理成章”吗？（ 非常不顺理成章（简直是自作多情！）。“阿花喜欢阿超”这个假设的似然值极低。）

所以，说人话：

似然 (Likelihood) 就是顺理成章的程度；其本质就是当有既定事实时，倒推原因（规则/模型），并评估哪个原因听起来最靠谱。

三、极大似然估计 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)

既然“似然”是“顺理成章的程度”，那么“极大似然”就是最顺理成章：在所有可能的解释中，挑出那个最能完美解释眼前事实的解释。 也就是找那个让事情看起来最不像是巧合的解释。

英文 Maximum Likelihood： 直译就是“最大的可能性（尤指基于证据的合理性）”。

正式理解：利用已知的样本结果信息，反推最大可能（概率）导致这些样本结果出现的模型参数值！即其提供一种给定观察数据来评估模型参数的方法（模型已定，参数未知）。

原理：在随机试验中，许多事件都有可能发生，概率大的事件发生的概率也大。若只进行一次试验，事件 A 发生，则我们有理由认为 事件A 比其他事件发生的概率大。

计算：

仍以阿超的冰淇淋为例，假设阿花对阿超有好感的概率为p，则无感的概率为1-p（假设每次都是独立同分布），则根据阿超得到0个冰淇淋其概率为P（0个冰淇淋 ｜ Model）， 将第一次结果记为P1，第二次为P2，。。。

有：

P（0个冰淇淋 ｜ Model） = P（P1 | M ） * P（P2 | M ） *… * P（P10| M ）  =  p^0 * (1-p)^10

所以已经有了概率表达式，需要求模型参数，使得P（0个冰淇淋 ｜ Model） 最大。显而易见，p=0；（😊😊😊）

比较正式的和公式推导可以参考：https://www.cnblogs.com/haohai9309/p/16867285.html

再举个例子看看似然值怎么得到：

假设我们有一组数据，表示某个零件的寿命（单位：小时）。假设我们只有 3 个数据点：

x_1 = 10

x_2 = 15

x_3 = 20

现在，我们要评估一个正态分布模型（假设均值μ=15，标准差σ=5）适不适合这批数据。

对于这 3 个数据点中的每一个，我们都可以把它代入正态分布的概率密度函数 (PDF，Probability Density Function) 中，算出一个值。这个值表示在这个假设的模型下，出现这个具体数值的可能性大小。

对于x_1 = 10，代入公式算出概率密度，假设是P_1 = 0.048

对于x_2 = 15,（正好是均值，可能性最大），代入公式算出概率密度，假设是P_2 = 0.080

对于x_3 = 20，代入公式算出概率密度，假设是P_3 = 0.048

(注：这里的 P 严格来说叫概率密度，而不是概率，但在计算似然时，我们直接用它。)

然后计算总的 Likelihood (似然)

现在我们有了每个单独数据点在这个模型下出现的“可能性”。那么这 3 个数据点同时出现的可能性有多大呢？

在统计学中，我们通常假设数据点之间是相互独立的。所以，总的 Likelihood (L) 就是所有单个数据点概率密度的乘积：

L=0.048×0.080×0.048=0.00018432

这个0.00018432 就是在这个特定的正态分布模型（μ=15,σ=5）下，这组数据的似然值 (Likelihood)。

四、-2Loglikelihood 

稍等，在JMP中未看到likelihood，看到的是-2Loglikelihood， why？

对于L来说，其值越大，说明拟合得越好。但L通常是一个极小的数字，计算机在处理这种极小数字时很容易出现“下溢出”错误，而且也不直观。于是数学家就给它取了自然对数 (ln)，然后再乘上 -2； 经过这么一转换，原本“越大越好”的 L，变成了“越小越好”的 -2Loglikelihood。

因为乘积的对数 = 对数的和。

ln(A×B)=ln(A)+ln(B)；所以：

ln(L) = ln(P_1 * P_2 *  ... * P_n) 这样把连乘变成了连加。

即对于MLE值越大越好，而对于-2Loglikelihood， 其值越小越好！那其前后的AICc和BIC又都是啥玩意？

五、AICc (Corrected Akaike Information Criterion/校正赤池信息量准则)

AIC 是一种评估模型拟合优度的标准。它会奖励拟合度高的模型，但同时会对模型中增加的变量/参数进行“惩罚”。AICc 是 AIC 的改进版，那个“c”代表 corrected（校正）。

当你的样本量（数据行数）相对较小，或者模型参数较多时，普通的 AIC 容易误导你选择过于复杂的模型。AICc 专门针对小样本进行了数学上的惩罚校正。当样本量非常大时，AICc 的值会和普通的 AIC 几乎完全一样。即AICc  = AIC + 加上“复杂度惩罚” (适合中小样本)

AIC 公式： AIC = -2Loglikelihood + 2k

k 是模型里参数的个数。Weibull 和 Lognormal 都有 2 个参数（比如 Weibull 的形状和尺度），所以k=2。（2k 为惩罚。参数越多，惩罚分越高。）

AICc 公式： AICc = AIC + [ 2k(k+1) / (n-k-1) ]，n 是样本量（数据行数）。

已知：-2LogL = 73.031583，参数k=2，样本量n=187。

AIC = 73.031583 + 2*2 = 77.031583

校正项 = (2 * 2 * 3) / (187 - 2 - 1) = 12 / 184 = 0.065217

AICc = 77.031583 + 0.065217 = 77.096800 

六. BIC (Bayesian Information Criterion/贝叶斯信息量准则)

其设计初衷和 AICc 类似，也是为了平衡拟合度和复杂度。

与 AICc 的区别（惩罚力度更大）： BIC 在计算“惩罚项”时，不仅考虑了参数的数量，还把样本量的对数计算在内。这意味着随着样本量的增加，BIC 对模型增加新变量的“惩罚力度”远远大于 AICc。

结果倾向： 因为惩罚更严厉，BIC 通常倾向于选择比 AICc 更简单、参数更少的模型。

BIC 公式： BIC = -2Loglikelihood + k * ln(n)

这里的惩罚项变成了 k * ln(n)。当样本量n > 8 时，ln(n) 就会大于 2，所以 BIC 的惩罚通常比 AIC 狠得多。

已知：-2LogL = 73.031583，参数k=2，样本量n=187。

惩罚项 = 2 *ln(187) = 2 * 5.2311 = 10.4622

BIC = 73.031583 + 10.4622 = 83.4938

模型拟合数据的准确度”和“模型的复杂度（参数数量）”之间找到最佳平衡，从而防止过拟合（Overfitting）。在对比多个模型时，无论是 AICc 还是 BIC，数值越小，代表模型越好。

对于单独一个分布函数来说，AICc 和 BIC 没有任何实际意义，他们是比分，只有在和其他模型比较时才有意义，而且分数越低越好。