结构热应力仿真-主题023_三角形与四边形单元-主题023_三角形与四边形单元教程

LiAiAi123LiAAii123AAA：三角形总面积AiA_iAi：P与对边构成的子三角形面积性质L1L2L31L1L2L31。

kkchenjj

90人浏览 · 2026-05-01 19:47:56

kkchenjj · 2026-05-01 19:47:56 发布

主题023：三角形与四边形单元

引言

1.1 为什么要学习单元技术？

在有限元方法中，单元是离散化的基本构件。理解单元技术对于：

正确实现有限元程序：形函数、雅可比矩阵、数值积分
处理复杂几何：曲边单元、等参变换
提高计算精度：高阶单元、自适应网格
优化计算效率：选择合适的单元类型和阶次

1.2 本主题学习目标

完成本主题学习后，您将能够：

理解三角形单元的形函数构造
掌握面积坐标的概念和应用
实现四边形单元的等参变换
计算雅可比矩阵及其行列式
应用高斯积分进行数值积分
对比不同单元的特点和适用场景

三角形单元基础

2.1 线性三角形单元（CST）

**常应变三角形（Constant Strain Triangle, CST）**是最简单的二维单元。

节点配置：

    2
    |\
    | \
    |  \
    0---1

形函数：
$N_i = L_i, \quad i = 1, 2, 3$

其中 $L_i$ 是面积坐标。

特点：

3个节点，每个节点2个自由度
位移场线性变化，应变/应力为常数
对弯曲问题精度较低（剪切自锁）

2.2 二次三角形单元（LST）

**线性应变三角形（Linear Strain Triangle, LST）**在边上增加了节点。

节点配置：

形函数：

顶点节点： $N_i = L_i(2L_i - 1), \quad i = 1, 2, 3$
边中节点： $N_{ij} = 4L_iL_j$

特点：

6个节点
位移场二次变化，应变/应力线性变化
精度明显高于CST

面积坐标与自然坐标

3.1 面积坐标的定义

对于三角形内的任意点P，面积坐标定义为：

$L_i = \frac{A_i}{A}, \quad i = 1, 2, 3$

其中：

$A$ ：三角形总面积
$A_i$ ：P与对边构成的子三角形面积

性质：
$L_1 + L_2 + L_3 = 1$

3.2 面积坐标与直角坐标的关系

$x = L_1x_1 + L_2x_2 + L_3x_3$
$y = L_1y_1 + L_2y_2 + L_3y_3$

逆变换：
$L_i = \frac{1}{2A}(a_i + b_ix + c_iy)$

其中：
$a_1 = x_2y_3 - x_3y_2, \quad b_1 = y_2 - y_3, \quad c_1 = x_3 - x_2$

3.3 母单元坐标

对于四边形单元，使用母单元坐标 $(\xi, \eta) \in [-1, 1] \times [-1, 1]$ 。

等参变换：
$x(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{n} N_i(\xi, \eta) x_i$
$y(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{n} N_i(\xi, \eta) y_i$

四边形单元基础

4.1 双线性四边形单元（Q4）

节点配置：

    3-----2
    |     |
    |     |
    0-----1

形函数：
$N_0 = \frac{1}{4}(1-\xi)(1-\eta)$
$N_1 = \frac{1}{4}(1+\xi)(1-\eta)$
$N_2 = \frac{1}{4}(1+\xi)(1+\eta)$
$N_3 = \frac{1}{4}(1-\xi)(1+\eta)$

特点：

4个节点
双线性位移场
可能出现剪切自锁

4.2 二次四边形单元（Q8, Q9）

Q8单元（Serendipity）：

8个节点：4角点 + 4边中点
不含内部节点

Q9单元（Lagrange）：

9个节点：4角点 + 4边中点 + 1中心点
使用张量积构造形函数

等参变换

5.1 等参变换的概念

等参（Isoparametric）：几何插值和场变量插值使用相同的形函数。

优点：

可以处理曲边几何
统一了各种单元的处理方式
便于数值积分

5.2 雅可比矩阵

雅可比矩阵描述从母单元到物理单元的映射：

$\mathbf{J} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial x}{\partial \eta} \\ \frac{\partial y}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{bmatrix}$

计算：
$\frac{\partial x}{\partial \xi} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial N_i}{\partial \xi} x_i$

行列式的意义：
$|\det(\mathbf{J})| d\xi d\eta$

5.3 导数变换

形函数对物理坐标的导数：

$\begin{bmatrix} \frac{\partial N_i}{\partial x} \\ \frac{\partial N_i}{\partial y} \end{bmatrix} = \mathbf{J}^{-1} \begin{bmatrix} \frac{\partial N_i}{\partial \xi} \\ \frac{\partial N_i}{\partial \eta} \end{bmatrix}$

数值积分方法

6.1 高斯积分原理

高斯积分通过最优选择积分点和权重，达到最高代数精度。

一维高斯积分：
$\int_{-1}^{1} f(\xi) d\xi \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(\xi_i)$

二维高斯积分（四边形）：
$\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} f(\xi, \eta) d\xi d\eta \approx \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} w_i w_j f(\xi_i, \eta_j)$

6.2 三角形单元的数值积分

常用积分公式：

阶数	点数	位置	权重
1	1	(1/3, 1/3)	1
2	3	(1/6, 1/6), (2/3, 1/6), (1/6, 2/3)	1/3
3	4	(1/3, 1/3), (0.6, 0.2), (0.2, 0.6), (0.2, 0.2)	-27/48, 25/48

6.3 积分阶数的选择

一般原则：

多项式阶次 $p$ ，需要积分阶次 $\geq (p+1)/2$
线性单元：2×2积分
二次单元：3×3积分
考虑计算效率与精度的平衡

案例实战

实例一：三角形单元与面积坐标

本实例演示三角形单元的实现，包括面积坐标、形函数和数值积分。

完整代码：

"""
实例一：三角形单元与面积坐标
================================
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


class TriangleElement:
    """三角形单元类"""
    
    def __init__(self, nodes):
        """
        初始化三角形单元
        
        参数:
            nodes: 节点坐标数组，形状为 (n_nodes, 2)
        """
        self.nodes = np.array(nodes)
        self.n_nodes = len(nodes)
        self.order = 1 if self.n_nodes == 3 else 2
    
    def shape_functions_linear(self, xi, eta):
        """
        线性三角形单元的形函数
        
        参数:
            xi, eta: 面积坐标 L₁, L₂
        
        返回:
            N: 形函数值数组 [N₁, N₂, N₃]
        """
        N1 = xi
        N2 = eta
        N3 = 1 - xi - eta
        return np.array([N1, N2, N3])
    
    def compute_jacobian(self):
        """
        计算雅可比矩阵
        
        返回:
            J: 雅可比矩阵
            detJ: 行列式
            J_inv: 逆矩阵
        """
        x = self.nodes[:, 0]
        y = self.nodes[:, 1]
        
        J = np.array([
            [x[0] - x[2], x[1] - x[2]],
            [y[0] - y[2], y[1] - y[2]]
        ])
        
        detJ = np.linalg.det(J)
        J_inv = np.linalg.inv(J)
        
        return J, detJ, J_inv
    
    def integrate_function(self, func, order=2):
        """
        在单元上积分函数
        
        参数:
            func: 被积函数
            order: 积分阶数
        
        返回:
            integral: 积分值
        """
        # 2阶积分点
        points = np.array([
            [1/6, 1/6],
            [2/3, 1/6],
            [1/6, 2/3]
        ])
        weights = np.array([1/3, 1/3, 1/3])
        
        J, detJ, _ = self.compute_jacobian()
        
        integral = 0.0
        for i, (xi, eta) in enumerate(points):
            integral += weights[i] * func(xi, eta)
        
        integral *= abs(detJ)
        return integral


# 使用示例
nodes = np.array([
    [0.0, 0.0],
    [2.0, 0.0],
    [1.0, 1.5]
])

element = TriangleElement(nodes)

# 计算面积
def f_const(xi, eta):
    return 1.0

area = element.integrate_function(f_const)
print(f"单元面积: {area:.6f}")

代码深度解析：

1. 形函数计算：

def shape_functions_linear(self, xi, eta):
    N1 = xi           # L₁
    N2 = eta          # L₂
    N3 = 1 - xi - eta # L₃
    return np.array([N1, N2, N3])

线性三角形单元的形函数就是面积坐标本身。

2. 雅可比矩阵：

J = np.array([
    [x[0] - x[2], x[1] - x[2]],
    [y[0] - y[2], y[1] - y[2]]
])

对于线性三角形，雅可比矩阵是常数。

实例二：四边形单元与等参变换

本实例演示四边形单元的等参变换和数值积分。

完整代码：

"""
实例二：四边形单元与等参变换
================================
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


class QuadrilateralElement:
    """四边形单元类"""
    
    def __init__(self, nodes):
        self.nodes = np.array(nodes)
        self.n_nodes = len(nodes)
        self.elem_type = 'Q4' if self.n_nodes == 4 else 'Q8'
    
    def shape_functions_Q4(self, xi, eta):
        """Q4单元形函数"""
        N0 = 0.25 * (1 - xi) * (1 - eta)
        N1 = 0.25 * (1 + xi) * (1 - eta)
        N2 = 0.25 * (1 + xi) * (1 + eta)
        N3 = 0.25 * (1 - xi) * (1 + eta)
        return np.array([N0, N1, N2, N3])
    
    def shape_function_derivatives(self, xi, eta):
        """形函数导数"""
        dN_dxi = 0.25 * np.array([
            -(1 - eta),
             (1 - eta),
             (1 + eta),
            -(1 + eta)
        ])
        
        dN_deta = 0.25 * np.array([
            -(1 - xi),
            -(1 + xi),
             (1 + xi),
             (1 - xi)
        ])
        
        return dN_dxi, dN_deta
    
    def compute_jacobian(self, xi, eta):
        """计算雅可比矩阵"""
        dN_dxi, dN_deta = self.shape_function_derivatives(xi, eta)
        
        J = np.array([
            [np.dot(dN_dxi, self.nodes[:, 0]), 
             np.dot(dN_deta, self.nodes[:, 0])],
            [np.dot(dN_dxi, self.nodes[:, 1]), 
             np.dot(dN_deta, self.nodes[:, 1])]
        ])
        
        detJ = np.linalg.det(J)
        J_inv = np.linalg.inv(J)
        
        return J, detJ, J_inv
    
    def integrate_function(self, func, order=2):
        """高斯积分"""
        # 2×2高斯积分点
        xi_vals = [-1/np.sqrt(3), 1/np.sqrt(3)]
        eta_vals = [-1/np.sqrt(3), 1/np.sqrt(3)]
        w_vals = [1.0, 1.0]
        
        integral = 0.0
        for i in range(2):
            for j in range(2):
                xi, eta = xi_vals[i], eta_vals[j]
                J, detJ, _ = self.compute_jacobian(xi, eta)
                weight = w_vals[i] * w_vals[j]
                integral += weight * func(xi, eta) * abs(detJ)
        
        return integral


# 使用示例
nodes = np.array([
    [0.0, 0.0],
    [2.0, 0.0],
    [2.0, 1.5],
    [0.0, 1.5]
])

element = QuadrilateralElement(nodes)

# 计算面积
area = element.integrate_function(lambda xi, eta: 1.0)
print(f"单元面积: {area:.6f}")

代码深度解析：

1. 等参映射：

def map_to_physical(self, xi, eta):
    N = self.shape_functions_Q4(xi, eta)
    x = np.dot(N, self.nodes[:, 0])
    y = np.dot(N, self.nodes[:, 1])
    return x, y

通过形函数将母单元坐标映射到物理坐标。

2. 高斯积分：

xi_vals = [-1/np.sqrt(3), 1/np.sqrt(3)]
eta_vals = [-1/np.sqrt(3), 1/np.sqrt(3)]

2×2高斯积分可以精确积分三次多项式。

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