专题三：大模型PINN专题

学习目标：

1.掌握PINN理论核心：理解典型物理方程及其数学特性，对比PINN与传统数值方法（如有限元法）的原理差异，揭示物理约束与数据驱动的协同机制。

2.构建PINN实践能力：基于PyTorch/DeepXDE等框架，从零实现一维力学案例代码，掌握能量法损失函数设计与自动微分等关键技术，复现顶刊创新方法。

3.探索工业级应用场景：涵盖流体层流模拟、固体大变形分析及材料参数反演等多领域前沿应用。

4.精通开源工具链：熟练使用DeepXDE、SciANN等库配置复杂条件，借助AI助手生成高鲁棒性代码求解瞬态问题。

5.培养跨学科创新能力：通过顶刊复现与代码对比，深化对物理编码、混合变量方案等前沿方向的理解，支撑工业仿真与智能设计应用。

本课程旨在打通物理建模、数值计算与深度学习的知识壁垒，培养兼具理论深度与工程实践能力的复合型人才，推动智能科学计算在工业创新中的应用。

讲师介绍

大模型PINN专题主讲老师：主讲讲师曾在欧洲和新加坡工作和学习，在中科院一区Top等计算力学顶刊CMAME以一作发表三十篇SCI论文，包括多篇PINN和传统数值主题的顶刊论文。

Day 1 微分方程（PDE）其实很简单：PDE＝守恒（对流、扩散）+本构

1. 守恒关系与本构导出微分方程

（1）. 如何用数学公式表达守恒方程？

1.1. 扩散项的数学表达

1.2. 对流项的数学表达

1.3. 扩散项+对流项=守恒

1.4. 看懂学术论文中的张量表达

（2）. 本构方程

2.1. 传热方程的本构

2.2. 渗流方程的本构

2.3. 线弹性固体方程的本构

2.4. 塑性本构

2.5. 流体方程的本构

2. 没有解析解？如何近似求解微分方程？

2.1. 从无限到有限的基本思想

2.2. 有限差分法：用差分代替微分

2.3. 有限单元法：非结构化网格

2.4. 如何生成参考解：Comsol与Abaqus入门与数据生成

3. Python编程：从入门到API调用

3.1. Python程序运行：命令行、Debug、Jupyter notebook

3.2. Python计算器：Numpy和Scipy

3.3. 机器学习API：scikit-learn

3.4. 如何在服务器上运行python程序

Day 2 深度学习？不同格式的数据处理而已！

4. 向量输入：全连接神经网络

4.1 激活函数

4.2 神经元

4.3自动微分方法

4.4损失函数的构建与正则化

4.5最优化方法

4.6. 实践：基于Pytorch建立深度神经网络模型并调优

5. 二维结构化数据（图像）输入：卷积神经网络

5.1 为什么不用全连接网络处理图像？

5.2 CNN的基本结构

5.3 卷积核如何构建

5.4 Stride，pooling

5.5 Softmax 多分类

6 其它神经网络

6.1. 图网络

6.2. 循环神经网络

6. 动力学问题的PINN解法

6.1. 数据驱动神经网络的优点与缺点

6.2. 什么是PINN？物理+数据

6.3. PINN初探：参数敏感性分析

Day 3 学术PINN进阶

7. 开山之作：基于强形式的PINN

PINN开山之作：Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations

一、背景与起源

传统数值方法面临的挑战

数据驱动方法的优势与局限性

物理信息神经网络的提出背景

二、基本原理

整体框架设计思路

多目标损失函数的构建方法

自动微分技术的核心作用

三、正问题应用实例：Burgers方程求解

问题特性与求解难点

网络设计与训练策略

结果分析与验证

四、反问题求解：参数识别应用

问题建模与数据要求

物理模型与网络参数协同优化

典型应用场景示例

五、发展趋势与挑战

复杂问题拓展应用

当前存在的技术难点

未来发展方向展望

8. 重要分支：基于变分形式的深度能量法

深度能量/深度里兹法物理数据双驱动网络 Deep energy method/Deep Ritz method，DEM，DRM，中科院一区TOP数值计算顶刊CMAME：An energy approach to the solution of partial differential equations in computational mechanics via machine learning: Concepts, implementation and applications

一、背景与动机

计算力学的能量变分原理

传统数值方法的局限

神经网络参数化与物理驱动的新范式

二、理论基础

最小势能原理与深度学习目标的同构性

势能泛函转化为损失函数的框架

能量法在满足物理约束与规避离散困难上的优势

三、实现方法

应变能与边界条件的损失函数设计

自动微分在能量梯度计算中的关键作用

从场参数化到模型训练的实现流程

四、典型案例分析

线弹性静问题求解

超弹性材料大变形分析

与传统方法及数据驱动模型的性能对比

五、总结与展望

方法优势：精度、效率

当前挑战与局限

未来发展方向

9. 还在自己从头写代码？使用DeepXDE！

一、入门指南

DeepXDE 核心特性与优势

本地与云端环境配置

核心模块概览与首个实例：一维泊松方程求解

二、几何与边界条件

基础与复杂几何（含时空域）的定义

各类边界条件的编码实现

初始条件的设置方法

三、控制方程定义

使用 Lambda 函数快速定义 PDE

自定义算子与高阶方程处理

多未知数方程组与反问题参数设置

四、网络配置与优化

网络架构与激活函数选择

权重初始化策略的影响

损失函数的平衡与权重配置

五、实战案例解析

一维 Burgers 方程激波捕捉

二维稳态/非稳态热传导求解

反问题：拉普拉斯方程源项反演

高维参数化PDE快速求解

Day 4 PINN发子刊？流体力学PINN

10. 基于弱形式的科学发现和PINN正反分析

中科院一区顶刊论文复现，A physics-informed data-driven approach for consolidation analysis

一、引言

研究背景：数据驱动识别与控制方程求解的挑战与潜力

研究目标：从测量数据中自动恢复渗流理论并求解

方法论概述：结合稀疏回归、物理信息网络与弱形式PDE

二、方法框架设计

整体流程：从数据到方程识别与不确定性量化的集成策略

稀疏回归在控制方程结构识别中的应用

物理信息神经网络（PiNet）的构建与求解机制

变换的弱形式PDE方法及其抗噪声特性

基于蒙特卡洛Dropout的不确定性量化

三、案例研究：渗流方程识别与验证

数据准备与问题描述

方程识别结果：固结偏微分方程的准确提取

抗噪声性能分析：方法在噪声数据下的鲁棒性验证

四、正问题求解与逆分析潜力

PiNet求解结果与实际结果的对比验证

方法在逆问题分析中的准确性与有效性

五、结论与展望

方法优势总结：通用性、自动化与辅助验证能力

11.不可压缩层流的混合形式求解方案

一、引言

研究背景：物理启发的深度学习在计算物理中的兴起

核心思想：通过物理定律约束神经网络，实现数据高效建模

研究内容：提出用于流体动力学的PINN混合变量方案，应用于低雷诺数层流模拟

二、方法设计：混合变量PINN框架

物理信息神经网络（PINN）的基本原理

混合变量方案的构建与实现

损失函数设计：嵌入流体控制方程残差

三、数值实验与参数研究

稳态与瞬态层流模拟设置

混合变量方案对可训练性与求解精度的提升分析

四、结果分析与讨论

速度场与压力场的预测结果

与参考数值解的对比验证

方法精度与有效性的评估

五、结论与展望

混合变量PINN在流体模拟中的潜力总结

未来研究方向与应用前景

12. 仅修改loss就可以获得巨大改进？考虑因果关系！

中科院一区TOP数值计算顶刊CMAME：Respecting causality for training physics-informed neural networks

一、引言

研究背景与PINN基本原理

流体模拟的挑战与PINN优势

本文工作与创新点概述

二、混合变量PINN方法构建

控制方程与传统PINN局限

混合变量理论框架

网络结构与损失函数设计

三、数值实验与分析

稳态与瞬态流动案例设置

变量方案对训练与精度的影响

结果对比与误差分析

四、结论与展望

方法优势与应用价值总结

当前局限与未来研究方向

13. PINN流体力学Nature子刊

基于物理编码的循环卷积网络（PeRCNN）

12.1. 方法概述：物理编码的时空学习框架

12.2. 核心架构：PeRCNN与通用∏块设计

12.3. 正向应用：偏微分方程系统求解

12.4. 反向应用：参数反演与方程发现

12.5. 能力验证：模型的强泛化性能

Day 5 PINN在固体力学中应用 + PINN的库SciANN讲解 + 大模型辅助编程

14. SciANN求解固体力学问题

一、 SciANN概述

二、环境安装与配置

三、核心概念与基础API

四、正向问题求解：物理信息神经网络（PINN）实现

五、反问题应用：参数识别与模型反演

六、高级特性与网络架构定制

七、实例研究与应用技巧

15. 深度能量法ｖｓＰＩＮＮ

中科院一区TOP数值计算顶刊Computers and Geotechnics: A Comprehensive Investigation of Physics-Informed Learning in Forward and Inverse Analysis of Elastic and Elastoplastic Footing

10.1. Footing问题背景与Ritz方法（正问题）

- 问题背景：Footing问题的物理意义与工程应用

- 数学模型：Footing问题的数学描述与控制方程

- Ritz方法：Ritz方法在正演建模中的应用与实现

- PINN框架：论文中PINN实现的核心思路与框架解读

10.2. Footing问题的逆问题求解

- 损失函数构建：PINN中物理驱动损失函数的设计与实现

- 自适应采样：自适应采样方法的原理与实现细节

- 指数加速：逆问题求解中的指数加速技术

- 代码复现与结果分析：代码实现与结果分析（数据集大小、高斯噪声的影响）

16. PINN解决固体力学的应力集中问题

计算力学顶刊Journal of Computational Physics：The mixed Deep Energy Method for resolving concentration features in finite strain hyperelasticity

3.1 框架概述：从纯位移公式到混合公式

3.2 网络输出：位移与应力的联合计算

3.3 边界处理：Neumann边界条件的精确近似

3.4 积分方案：Delaunay方法处理随机训练点

3.5 性能对比：在应力集中问题上超越PINN与DEM

3.6 应用展示：正向计算

17. 不同大模型生成PINN代码

1 DeepSeek大模型简介

2. DeepSeek大模型生成PINN代码求解PDE

2.1. Prompt与任务分解

2.2. 代码运行、可视化和Debug

3. ChatGPT大模型生成PINN代码求解ＰＤＥ

3.1. Prompt与任务分解

3.2. 代码运行、可视化和Debug

4. DeepSeek、Chat GPT、Grok大模型生成PINN代码效果对比