接前文 为什么互联网选择了 AIMD 进一步抽象，本文我仅用尺度不变性这个自然真理推导 TCP 吞吐率公式，同时展现一种 “发现物理定律” 的通用建模方法。

若一个系统的方程形式不变，则它尺度不变：

$f(\lambda x)={\lambda }^{k}f(x)$

这是个齐次函数，k 是标度指数，它对应于，先更新再缩放等价于先缩放再更新。

发现物理规律的核心在于，为满足尺度不变性，公式必须是量纲齐次的，即左右两边量纲必须完全一样，不能出现 “米 + 秒” 的情况，如果单位不一致，就不能自然缩放。

“幂次乘积” 形式的方程满足尺度不变性，这就是量纲分析。设：

• cwnd 为 W，量纲 [W] = P(packets)；
• 丢包率 p，无量纲，[p] = 1；
• RTT 为 T，量纲 [T] = T_；
• 速率 v = W/T，量纲 [v] = P/T_；

缩放规模 T→λ·T，尺度不变要求速率不变，即 W→λ·W，由于任何满足尺度不变的关系，只能是幂次乘积：

$W=C\cdot T^a\cdot p^b$

C 为无量纲常数。

由于左右量纲必须相等，左边量纲为 P，一个数量，右边：

$[T^a\cdot p^b]=[T{]}^a\cdot [p{]}^b={\text{T\_}}^a$

为了两边量纲必须相等，a 必须为 0，因此稳态窗口 W 不依赖 RTT：

$W=C\cdot p^b$

现在主要看网络规模放大 λ 倍后，p 如何缩放。

在稳态拥塞控制中，丢包是由 W(发送密度) 过高触发，这是一个在时间上累积发送量决定的事件：

$丢包时的积累量\sim W\cdot T$

代入尺度变换：

$W\to \lambda \cdot W，T\to \lambda \cdot T，丢包时的积累量\to {\lambda }^2\cdot W\cdot T$

因此：

$p=\frac{1}{丢包时的积累量}\to \frac{1}{{\lambda }^2\cdot 丢包时的积累量}=\frac{p}{{\lambda }^2}$

代入 $W=C\cdot p^b$：

$\lambda \cdot W=C\cdot (\frac{p}{{\lambda }^2}{)}^b$

为了让两边量纲一致，需满足 $\lambda ={\lambda }^{-2b}$，即：

$b=-\frac{1}{2}$，$W=C\cdot p^{-\frac{1}{2}}$

看啊，这就是结论！

通篇没任何 TCP 的细节，甚至没 AIMD，直接从尺度不变性推导出来的吞吐率公式的普适意义在于：

• 对于一切基于 cwnd 控制的算法，无关发送策略(可以不是 AIMD)，最终都满足此式；

如果你自行扩大 W，试图在数字上降低 p，结果就是 T 增加，v 降低，在所有情况下，AIMD 给出了一个统计意义上的最优解。

尺度不变的美感在于它就是描述世界的真理，世界本身就是按照这个真理缩放而成的，小到原子，大到星云。

再看一个经典的量纲分析例子，单摆周期与摆长的关系。

设周期为 T，摆长为 L，重力加速度为 g，按照幂次乘积原则：

$T\propto L^a\cdot g^b$

量纲关系，[L]，[T] 自不必说，速度量纲为 $\frac{[L]}{[T]}$，而加速度则是 $[g]=\frac{[L]}{[T{]}^2}$，代入上式后，右边量纲为：

$[L{]}^a\cdot \frac{[L{]}^b}{[T{]}^{2b}}=[L{]}^{a+b}\cdot [T{]}^{-2b}$

为了和左边单位一致，则需要满足：

$a+b=0，-2b=1$

于是：

$T\propto (\frac{L}{g}{)}^{\frac{1}{2}}$

看啊，这是什么！规律从简单的量纲一致性而来。

假期旅行期间，一有时间就看《微积分溯源》，16 世纪前后一段时间，人们对量纲一致性和齐次的物理意义颇有执念，基于此简单直白的量纲分析导出了很多普适的，简洁的，优美的物理规律。

你想知道一个量 x 与另一个量 y 有怎样的定量关系，大胆猜想的方向之一就是 “量纲一致性”，只要知道 x 被哪些量决定，列出幂次乘积式，量纲分析就有结论，基于这个方法论，平方反比律也可通过量纲分析加一点几何知识给出。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。