定性分析过很多次 AIMD 的收敛，典型地基于几何相图，参见 TCP AIMD 为什么收敛。

虽便于理解，但不正规，本文正式推导。

首先直观理解 “最终绝对公平”，即所有 cwnd 相等，定量为：

$\text{U}={\sum }_{i<j}(x_j-x_i{)}^2=0$

逆推平方和关系(实际上是记住了，记了几十年，非常好用)，上式等于：

$\text{U(t)}={\sum }_{i<j}(x_j(t)-x_i(t){)}^2=\sum x_i(t{)}^2-\frac{(\sum x_i(t){)}^2}{N}$

求导：

$\frac{\text{d}U}{\text{d}t}=2{\sum }_{i=1}^N{x}_i\cdot \dot{x_i}-\frac{2}{N}({\sum }_{i=1}^N{x}_i)({\sum }_{i=1}^N\dot{x_i})$

由 AIMD 可知 $\overline{x_i}=\alpha$，且 N > 1，则：

$\frac{\text{d}U}{\text{d}t}=2\alpha \sum x_i-2\alpha N\sum x_i<0$

U 绝对大于等于 0，绝对渐小，因此 AIMD 绝对趋向于公平。

月雪！

还可直接套 Jain’s 公平度量公式，参见 Jain’s Faireness index如何度量TCP公平性：

$J=\frac{({\sum }_{i=1}^N{x}_i{)}^2}{N\cdot {\sum }_{i=1}^N{x}_i^2}$

令 $S_1(t)={\sum }_{i=1}^N{x}_i(t),S_2(t)={\sum }_{i=1}^N{x}_i(t{)}^2$，则：

$J(t)=\frac{S_1(t{)}^2}{N{S}_2(t)}$

对 t 求导，并已知 $\overline{x_i}=\alpha$：

$\frac{\text{d}J}{\text{d}t}=\frac{2\alpha }{N}\cdot \frac{S_1(N\cdot S_2-S_1^2)}{S_2^2}$

由柯西·施瓦茨不等式 $N\cdot S_2>S_1^2$，因此：

$\frac{\text{d}J}{\text{d}t}>0$

事实上，它可通过第一种方法 U 导出：

$\frac{\text{d}J}{\text{d}t}=-\frac{2S_1}{N{S}_2^2}\cdot \frac{\text{d}U}{\text{d}t}>0$

这就是 AIMD 公平性的极简证明。

请注意，AIMD 的 $\beta \cdot W$ 仅影响 buffer 规模，不影响比例，不影响公平收敛。

人要一直进步，加深理解，拒绝长文。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。