【数论】P9034 「KDOI-04」Again Counting Set|普及+

本文研究了集合计数问题，给出了满足特定条件的整数集合数量的计算方法。通过分析集合的最小值、最大值和mex等性质，推导出当k=2时有1种解，当k≥4时解的数量与n和k的关系式。代码实现了基于数学推导的快速计算，能够处理大规模输入数据（n,k≤10^18）。测试样例验证了算法的正确性，展示了不同n和k组合下的计算结果。该算法通过分类讨论和数学公式直接计算答案，避免了暴力枚举，具有较高的时间效率。

闻缺陷则喜何志丹

388人浏览 · 2026-03-05 07:00:00

闻缺陷则喜何志丹 · 2026-03-05 07:00:00 发布

本文涉及知识点

数论：质数、最大公约数、菲蜀定理

「KDOI-04」Again Counting Set

题目背景

题目描述

小 S 不喜欢集合，不喜欢自然数，不喜欢求和，不喜欢求积，不喜欢最小值，不喜欢最大值，不喜欢 $\operatorname{mex}$ ，所以有了这题。

给出 $n, k$ ，求有多少个可重整数集合 $S$ 满足：

$∣ S ∣ = k$ ；
对于任意 $x\in S$ ， $0\le x\le n$ ；
$\displaystyle{\prod_{x\in S} x=\min_{x\in S} x}$ ；
$\displaystyle{\sum_{x\in S} x=\min_{x\in S} x+\max_{x\in S}x+{\operatorname{mex}}(S)}$ 。

注： $\bf{mex}$ 指集合中没有出现过的最小的自然数。

输入格式

本题包含多组测试数据。

输入的第一行包含一个正整数 $T$ ，表示测试数据组数。

对于每组测试数据，输入包含一行两个正整数 $n, k$ 。

输出格式

对于每组测试数据，输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

7
1 4
2 4
5 3
2 100
3 8
20 50
499122178 4

样例输出 #1

提示

【补充说明】

为了更好的让选手理解题面，给出若干合法/不合法集合例子：

${0,1,2,2\}$ 。

该集合是一个符合要求的集合，因为 $0\times 1\times 2\times 2=0=\min\{0,1,2,2\}$ ， $0+1+2+2=5,\min\{0,1,2,2\}+\max\{0,1,2,2\}+\operatorname{mex}\{0,1,2,2\}=0+2+3=5$ 。

${3,5\}$

该集合不是一个符合要求的集合，因为虽然 $3+5=8,\min\{3,5\}+\max\{3,5\}+\operatorname{mex}\{3,5\}=3+5+0=8$ ，但是 $3\times 5\not=\min\{3,5\}$ 。

${1,9,1,9,8,1,0\}$ 。

该集合不是一个符合要求的集合，因为虽然 $1\times 9\times 1\times 9\times 8\times 1\times 0=0=\min\{1,9,1,9,8,1,0\}$ ，但是其和为 $29$ 而并非 $\min+\max+\operatorname{mex}=0+9+2=11$ 。

【数据范围】

对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le T\le10^6$ ， $1\le n,k\le10^{18}$ 。

测试点编号	分值	$T\le$	$k\le$	$n$
$1$	$10$	$5$	$5$	$\le5$
$2$	$10$	$10^5$	$10^{18}$	$= 1$
$3$	$10$	$10^5$	$10^{18}$	$= 2$
$4$	$10$	$10^5$	$10^{18}$	$= 3$
$5$	$10$	$10^5$	$10^{18}$	$= 4$
$6$	$10$	$10^5$	$10^{18}$	$= 5$
$7$	$10$	$10^5$	$10$	$\le10$
$8$	$10$	$10^5$	$10^3$	$\le10^3$
$9$	$10$	$10^6$	$10^{18}$	$\le10^{8}$
$10$	$10$	$10^6$	$10^{18}$	$\le10^{18}$

数论

令x1是最小值,x2是最大值。
一，k等于1。
x1 = x1 +mes(x)+x1，如果x1等于0，mes(S)等于1。不成立。
如果x不等于0，则x =2x。1等于2，矛盾。
故k等于1，方案数为0。
二，k等于2。
x1*x2 =x1 如果x1等于0，式子二恒成立。0+x2= 0+mes(s)+x2，式子三无法成立。
如果0 < x1<=x2 。x2 = 1。即x1=x2=1。式子三也成立。
故 k =2 ,方案数1。
三，k >=3。
根据式子二，要么x1是0，要么全部是1。
全部是1，判断 k= 1+0+1，与k >=3矛盾。故只需要考虑x1是0。
如果x1是0,式子三 $\iff$ 除掉最小值，最大值之和 =mes(S)
如果mse(S)是1,中间必定有一个数是1,和mes(1)矛盾。
如果mes(S)是2，中间必定两2个1，
a,其它全部是0，x2 可以是1也可以>2。 k >=4，方案数： 1 + max(n-2,0)
如果mes(S)是3, 两种情况：a,1,1,1,x2是2，其它全部是0。b,1,2,x2是2或>3。
a, k >=5，方案数一，01112,其它全部为0。
b,k >=4 ，方案是数：012x ，1+ max(n-3)
mes(4) 0121 ,x2是3，其它0。 k >=5,n >=3，方案1。
mes(5)是5 或更多不成立。因为1+2+3 >5。
总结：
k等于2,返回1。
如果k >=5,n>=2, ans++。
k >=5,n >=3 ans++;
如果 k>=4, ans += 1 + max(n-2,0)
k>=4,n>=2 ans+= 1+ max(n-3,0)

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) ;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<T> ret(n);
	for(int i=0;i < n ;i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

class Solution {
public:
	long long Ans(const long long N, const long long K) {
		if (2 == K) { return 1; }
		long long ans = 0;
		if (K >= 5) {
			if (N >= 2) ans++;
			if (N >= 3) ans++;
		}
		if (K >= 4) {
			ans += 1 + max(N - 2, 0LL);
			if (N >= 2) {
				ans += 1 + max(N - 3, 0LL);
			}
		}
		return ans;
	}
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	int T;
	cin >> T;
	long long N, K;
	for (int i= 0; i < T; i++) {
		cin >> N >> K;
		auto res = Solution().Ans(N, K);
		printf("%lld\r\n", res);
	}
#ifdef _DEBUG		
	//printf("K=%d", K);
	//Out(b, "b=");
	//Out(a, ",a=");
#endif // DEBUG	
	return 0;
}

单元测试

long long N, K;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{			
			auto res = Solution().Ans(1,4);
			AssertEx(1LL, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			auto res = Solution().Ans(2, 4);
			AssertEx(2LL, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			auto res = Solution().Ans(5, 3);
			AssertEx(0LL, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod14)
		{
			auto res = Solution().Ans(2, 100);
			AssertEx(3LL, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod15)
		{
			auto res = Solution().Ans(3, 8);
			AssertEx(5LL, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod16)
		{
			auto res = Solution().Ans(20, 50);
			AssertEx(39LL, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod17)
		{
			auto res = Solution().Ans(499122178, 4);
			AssertEx(998244353LL, res);
		}

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