目录

• 1. 一阶与二阶无源滤波器的传递函数表达形式
• 2. 极点（Pole）与零点（Zero）的基本概念
• 3. 极点与零点在波特图（Bode Plot）中的作用
• 4. 多模块系统传递函数的叠加分析
• 5. 补偿网络设计思路与系统稳定性

1. 一阶与二阶无源滤波器的传递函数表达形式

一阶低通滤波器（First-order Low-pass Filter）的传递函数，其有多种等效表达方式：

• 常见形式：

  

• 为便于分析，常改写为：

  

  其中，即截止角频率。

• 有时也写作：

  

  这种形式便于在分母中直接体现设计参数 ω0。

二阶低通滤波器（如 LC 滤波器），其标准传递函数为：

可重写为：

其中：

• ：谐振角频率（resonant frequency）
• ：品质因数（Quality Factor）

Q 值的影响：

• Q 过大：在谐振频率处产生尖峰（peaking），可能导致相位突变，影响系统稳定性。
• Q 过小：增益不足，负载调整率（load regulation）性能变差。
• 需在设计中权衡，选择适中的 Q 值。

高通滤波器同理：

• 一阶高通：
• 二阶高通：

关键区别：

• 低通滤波器仅含极点（Poles）
• 高通滤波器包含零点（Zeros）和极点

2. 极点（Pole）与零点（Zero）的基本概念

在开关电源等控制系统中，传递函数通常表示为：

• 分子中的 zi为零点（Zero）
• 分母中的 pi为极点（Pole）

重要性质：

• 实际物理系统中，极点和零点通常为负实数或左半平面（LHP, Left Half Plane）的复数。
• LHP 的极点/零点有助于系统稳定；右半平面（RHP）的零点/极点会带来稳定性挑战。
• 虽然 s 是复变量，但对应的频率始终为正（ω>0ω>0），无“负频率”概念。

3. 极点与零点在波特图（Bode Plot）中的作用

波特图由幅频特性（Magnitude）和相频特性（Phase）组成。极点与零点对曲线的影响如下：

幅频特性（Magnitude Plot）

• 单极点（Single Pole）：斜率 -20 dB/decade（即 -1）
• 双重极点（Double Pole）：斜率 -40 dB/decade（即 -2）
• 单零点（Single Zero）：斜率 +20 dB/decade（即 +1）
• 双重零点（Double Zero）：斜率 +40 dB/decade（即 +2）

每个极点/零点在对应频率处引起拐点（corner frequency），斜率发生改变。

相频特性（Phase Plot）

• 单极点：相位滞后最多 -90°，变化范围约在 0.1ωp0.1ωp​ 到 10ωp10ωp​（即 20 倍频程内）
• 双重极点：相位滞后最多 -180°
• 单零点：相位超前最多 +90°
• 双重零点：相位超前最多 +180°

特别注意：当二阶系统（如 LC 滤波器）的 Q 值较高时，在谐振频率处：

• 幅频曲线出现尖峰（peaking）
• 相频曲线可能出现急剧相位跌落（接近 -180°），构成不稳定因素

4. 多模块系统传递函数的叠加分析

实际系统常由多个子模块级联，总传递函数为各模块传递函数之积，其波特图表现为幅值相加、相位相加。

• 在幅频图中，各模块的斜率在对应频率处叠加。
• 例如：
  • 模块 A：低频斜率为 0，高频因单极点变为 -1
  • 模块 B：全程斜率为 -1
  • 总系统：低频斜率为 -1，高频斜率为 -2

5. 补偿网络设计思路与系统稳定性

补偿设计：

• 方案一：仅含极点的反馈网络 → 系统穿越 0 dB 时斜率为 -2（即 -40 dB/dec）

  • 相位裕度小，稳定性较差

• 方案二：引入一个零点的补偿网络 → 在穿越频率附近将斜率从 -2 提升至 -1

  • 系统以 -20 dB/dec 斜率穿越 0 dB 线
  • 获得足够的相位裕度，稳定性更好

设计目标：确保开环增益在穿越频率（Gain Crossover Frequency）处以 -20 dB/dec 斜率下降，这是经典稳定判据。