本文参考R. Schwindt and Cam Nguyen, "Computer-aided analysis and design of a planar multilayer Marchand balun," in IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 42, no. 7, pp. 1429-1434, July 1994, doi: 10.1109/22.299742.
keywords: {Computer aided analysis;Nonhomogeneous media;Impedance matching;Scattering parameters;Microstrip;Coupling circuits;Equations;Circuit synthesis;Gallium arsenide;Monolithic integrated circuits},仅供学习使用

III. 巴伦设计

该巴伦可获得的最佳S矩阵形式为

$$[S]=\left[\begin{array}{ccc}0& \frac{e^{j\theta }}{\sqrt{2}}& -\frac{e^{j\theta }}{\sqrt{2}}\\ \frac{e^{j\theta }}{\sqrt{2}}& \frac{e^{j\gamma }}{2}& \frac{e^{j\gamma }}{2}\\ -\frac{e^{j\theta }}{\sqrt{2}}& \frac{e^{j\gamma }}{2}& \frac{e^{j\gamma }}{2}\end{array}\right].(11)$$

 随着电路S参数的推导，我们将提出一个系统化的设计流程来寻找耦合线模式参数。为了实现可接受的巴伦性能，我们将对巴伦S参数施加某些条件，并试图找到满足这些条件的、可实现耦合线模式参数。此外，在推导模式参数所必须满足的条件时，我们将假设耦合线具有相等的相速度。这个假设导致了对浸没在非均匀介质中的平面Marchand巴伦的近似设计。然而，如果使用宽边耦合线，并且其配置使得模式相速度的差异很小，则这种近似性会被最小化，这一点将在后面给出的设计示例中进行讨论。

 通过类比标准的无源网络综合技术，我们将指定传输系数平方幅值的频率响应。用于分布参数二端口网络的标准综合技术使用Richards变量作为频率变量，对于无耗网络，其形式为$S=j\Omega =j\tan \omega l/v$，其中$l$被选为通带中心频率处的四分之一波长。除了为简化推导所必需外，假设相速度相等是必须的，因为我们将以$S$或$\Omega$（而非$\omega$）来指定频率响应。巴伦的线路物理长度将使得模式相速度的平均值对应于通带中心频率下的四分之一波长。在假设相速度相等且$Z_{02}=Z_{03}$（通常巴伦输出端口看到的终端阻抗相同）的情况下，我们可以从(2)和(3)式得到$S_{21}$和$S_{31}$的表达式。

 我们发现，对于$S_{21}$和$S_{31}$，其分子关于$\Omega$的阶数等于分母关于$\Omega$的阶数，这暗示了一个高通特性（关于$\Omega$，意味着关于$\omega$的带通行为），这符合我们基于原始Marchand巴伦性能的预期。此外，$S_{31}$具有四阶高通响应，而$S_{21}$具有六阶高通响应。因此，可能的最高阶响应受限于$|S_{31}{|}^2$。正因如此，并且由于巴伦性能要求$S_{21}=-S_{31}$，我们将指定$|S_{31}{|}^2$的频率响应，然后要求$S_{21}=-S_{31}$。指定$|S_{31}{|}^2$的行为将产生一组由耦合线段的模式阻抗和模式电压比来满足的方程。要求$S_{21}=-S_{31}$将产生另一组由模式阻抗和电压比满足的方程，这些构成了设计流程的条件。

在这项工作中，我们将$|S_{31}{|}^2$的频率响应指定为准巴特沃斯形式：

$$|S_{31}{|}^2=\frac{1}{2}\frac{1}{1+F_3({\Omega }^2)}{F}_3(x)=\frac{K}{1+x}\frac{1}{x^2}.(12)$$

 $K$是用于实现特定带宽的待调整参数。$S_{31}$的形式要求$F_3(x)$的阶数不高于三阶。可以证明，更高阶的近似函数意味着$R_{cA}=R_{\pi A}$，这在物理上是不可能的。目前尚不清楚先验地这个近似函数是否最优，甚至是否完全可实现，但它并不像（例如）真正的三阶巴特沃斯响应那样明显不可实现，后者是不可能的，因为它也意味着$R_{cA}=R_{\pi A}$。通过令$\Omega$的同次幂系数相等，得到五个设计方程：

$${\Delta }_0^2-2K{k}_1^2{k}_2^2=0(13)$$
$$2{\Delta }_0{\Delta }_2+{\Delta }_1^2-2K{k}_1^2{k}_3^2=0(14)$$
$${\Delta }_2^2+2{\Delta }_0{\Delta }_4+2{\Delta }_1{\Delta }_3-2k_1^2{k}_2^2=0(15)$$
$$2{\Delta }_2{\Delta }_4+{\Delta }_3^2-2k_1^2(k_2^2+k_3^2)=0(16)$$
$${\Delta }_4^2-2k_1^2{k}_3^2=0(17)$$

其中，

$$\begin{array}{rl}{k}_1& =2\sqrt{Z_{01}{Z}_{02}}\left[(R_{cB}+R_{\pi B})-\left(\frac{Z_{cB}}{Z_{\pi B}}{R}_{cB}+\frac{Z_{\pi B}}{Z_{cB}}{R}_{\pi B}\right)\right](18)\\ k_2& =Z_{02}\left(2-\frac{R_{cA}}{R_{\pi A}}-\frac{R_{\pi A}}{R_{cA}}\right)(19)\\ k_3& =(1-R_{\pi A}/R_{cA})Z_{cA}{R}_{cA}^2+(1-R_{cA}/R_{\pi A})Z_{\pi A}{R}_{\pi A}^2(20)\\ {\Delta }_0& =Z_{02}^2\left(2-\frac{R_{cA}}{R_{\pi A}}-\frac{R_{\pi A}}{R_{cA}}\right)\left(2-\frac{R_{cB}}{R_{\pi B}}-\frac{R_{\pi B}}{R_{cB}}\right)(21)\\ {\Delta }_1& =Z_{02}[\left(2-\frac{R_{cA}}{R_{\pi A}}-\frac{R_{\pi A}}{R_{cA}}\right)\left[(1-R_{cB}/R_{\pi B})Z_{\pi B}{R}_{\pi B}^2+(1-R_{\pi B}/R_{cB})Z_{cB}{R}_{cB}^2\right]\\ & +\left(2-\frac{R_{cB}}{R_{\pi B}}-\frac{R_{\pi B}}{R_{cB}}\right)\left[(1-R_{cA}/R_{\pi A})\left(Z_{\pi A}{R}_{\pi A}^2+\frac{Z_{01}{Z}_{02}}{Z_{\pi A}}\right)+(1-R_{\pi A}/R_{cA})\left(Z_{cA}{R}_{cA}^2+\frac{Z_{01}{Z}_{02}}{Z_{cA}}\right)\right]\\ & +Z_{01}{Z}_{02}\left(2-\frac{R_{cA}}{R_{\pi A}}-\frac{R_{\pi A}}{R_{cA}}\right)\left[(1-R_{cB}/R_{\pi B})\frac{1}{Z_{\pi B}}+(1-R_{\pi B}/R_{cB})\frac{1}{Z_{cB}}\right]](22)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_2& =Z_{01}{Z}_{02}\left(2R_{cA}{R}_{\pi A}-\frac{Z_{cA}}{Z_{\pi A}}{R}_{cA}^2-\frac{Z_{\pi A}}{Z_{cA}}{R}_{\pi A}^2\right)\left(2-\frac{R_{cB}}{R_{\pi B}}-\frac{R_{\pi B}}{R_{cB}}\right)\\ & +Z_{02}^2\left(2-\frac{R_{cA}}{R_{\pi A}}-\frac{R_{\pi A}}{R_{cA}}\right)\left(2-\frac{Z_{cB}}{Z_{\pi B}}-\frac{Z_{\pi B}}{Z_{cB}}\right)\\ & -\left[(1-R_{cA}/R_{\pi A})\left(Z_{\pi A}{R}_{\pi A}^2+\frac{Z_{01}{Z}_{02}}{Z_{\pi A}}\right)+(1-R_{\pi A}/R_{cA})\left(Z_{cA}{R}_{cA}^2+\frac{Z_{01}{Z}_{02}}{Z_{cA}}\right)\right]\\ & \cdot \left[(1-R_{cB}/R_{\pi B})Z_{\pi B}{R}_{\pi B}^2+(1-R_{\pi B}/R_{cB})Z_{cB}{R}_{cB}^2\right]\\ & -Z_{02}\left[(1-R_{cA}/R_{\pi A})(Z_{01}{R}_{\pi A}^2+Z_{02})Z_{\pi A}+(1-R_{\pi A}/R_{cA})(Z_{01}{R}_{cA}^2+Z_{02})Z_{cA}\right]\\ & \cdot \left[(1-R_{cB}/R_{\pi B})\frac{1}{Z_{\pi B}}+(1-R_{\pi B}/R_{cB})\frac{1}{Z_{cB}}\right]\\ & +Z_{01}{Z}_{02}\left(2-\frac{R_{cA}}{R_{\pi A}}-\frac{R_{\pi A}}{R_{cA}}\right)\left(2R_{cB}{R}_{\pi B}-\frac{Z_{cB}}{Z_{\pi B}}{R}_{cB}^2-\frac{Z_{\pi B}}{Z_{cB}}{R}_{\pi B}^2\right)(23)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_3& =Z_{01}\left(2R_{cA}{R}_{\pi A}-\frac{Z_{cA}}{Z_{\pi A}}{R}_{cA}^2-\frac{Z_{\pi A}}{Z_{cA}}{R}_{\pi A}^2\right)\left[(1-R_{cB}/R_{\pi B})Z_{\pi B}{R}_{\pi B}^2+(1-R_{\pi B}/R_{cB})Z_{cB}{R}_{cB}^2\right]\\ & +Z_{02}\left(2-\frac{Z_{cB}}{Z_{\pi B}}-\frac{Z_{\pi B}}{Z_{cB}}\right)\left[(1-R_{cA}/R_{\pi A})\left(Z_{\pi A}{R}_{\pi A}^2+\frac{Z_{01}{Z}_{02}}{Z_{\pi A}}\right)+(1-R_{\pi A}/R_{cA})\left(Z_{cA}{R}_{cA}^2+\frac{Z_{01}{Z}_{02}}{Z_{cA}}\right)\right]\\ & +Z_{02}\left[Z_{01}{Z}_{02}\left(2-\frac{Z_{cA}}{Z_{\pi A}}-\frac{Z_{\pi A}}{Z_{cA}}\right)-Z_{cA}{Z}_{\pi A}(R_{cA}-R_{\pi A}{)}^2\right]\\ & \cdot \left[(1-R_{cB}/R_{\pi B})\frac{1}{Z_{\pi B}}+(1-R_{\pi B}/R_{cB})\frac{1}{Z_{cB}}\right]\\ & +\left[(1-R_{cA}/R_{\pi A})(Z_{01}{R}_{\pi A}^2+Z_{02})Z_{\pi A}+(1-R_{\pi A}/R_{cA})(Z_{01}{R}_{cA}^2+Z_{02})Z_{cA}\right]\\ & \cdot \left(2R_{cB}{R}_{\pi B}-\frac{Z_{cB}}{Z_{\pi B}}{R}_{cB}^2-\frac{Z_{\pi B}}{Z_{cB}}{R}_{\pi B}^2\right)(24)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_4& =Z_{01}{Z}_{02}\left(2R_{cA}{R}_{\pi A}-\frac{Z_{cA}}{Z_{\pi A}}{R}_{cA}^2-\frac{Z_{\pi A}}{Z_{cA}}{R}_{\pi A}^2\right)\left(2-\frac{Z_{cB}}{Z_{\pi B}}-\frac{Z_{\pi B}}{Z_{cB}}\right)\\ & +\left[Z_{01}{Z}_{02}\left(2-\frac{Z_{cA}}{Z_{\pi A}}-\frac{Z_{\pi A}}{Z_{cA}}\right)-Z_{cA}{Z}_{\pi A}(R_{cA}-R_{\pi A}{)}^2\right]\\ & \cdot \left(2R_{cB}{R}_{\pi B}-\frac{Z_{cB}}{Z_{\pi B}}{R}_{cB}^2-\frac{Z_{\pi B}}{Z_{cB}}{R}_{\pi B}^2\right).(25)\end{array}$$

 显然，$k_1\ne 0$，否则$S_{31}$的分子等于零，但解不能要求$k_2=0$，因为这意味着$R_{cA}=R_{\pi A}$，这是不可能的。因为近似函数$F_n(x)$的性状是$x^{-n}$，如果$n>3$，则令$\Omega$的同次幂相等会得到方程$k_1^2{k}_2^2=0$，这在物理上无法满足。

现在通过设定$S_{21}=-S_{31}$获得四个额外的设计方程，如下所示。

$$\begin{array}{rl}& \left[(1-R_{cB}/R_{\pi B})\frac{1}{Z_{\pi B}}+(1-R_{\pi B}/R_{cB})\frac{1}{Z_{cB}}\right]R_{cA}{R}_{\pi A}\frac{Z_{\pi A}-Z_{cA}}{R_{cA}-R_{\pi A}}\\ & +R_{cB}(1-Z_{cB}/Z_{\pi B})+R_{\pi B}(1-Z_{\pi B}/Z_{cB})=0(26)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& Z_{01}{Z}_{02}\left[R_{cA}(1-Z_{cA}/Z_{\pi A})+R_{\pi A}(1-Z_{\pi A}/Z_{cA})\right]\left[(1-R_{cB}/R_{\pi B})\frac{1}{Z_{\pi B}}+(1-R_{\pi B}/R_{cB})\frac{1}{Z_{cB}}\right]\\ & +\left[(1-R_{cA}/R_{\pi A})Z_{\pi A}{R}_{\pi A}+(1-R_{\pi A}/R_{cA})Z_{cA}{R}_{cA}\right]\left(2R_{cB}{R}_{\pi B}-\frac{Z_{cB}}{Z_{\pi B}}{R}_{cB}^2-\frac{Z_{\pi B}}{Z_{cB}}{R}_{\pi B}^2\right)\\ & -R_{cA}{R}_{\pi A}\frac{Z_{\pi A}-Z_{cA}}{R_{cA}-R_{\pi A}}\left[(1-R_{cB}/R_{\pi B})\frac{1}{Z_{\pi B}}+(1-R_{\pi B}/R_{cB})\frac{1}{Z_{cB}}\right]\\ & \cdot \left[(1-R_{cA}/R_{\pi A})Z_{\pi A}{R}_{\pi A}^2+(1-R_{\pi A}/R_{cA})Z_{cA}{R}_{cA}^2\right]\\ & -\left[(1-R_{cA}/R_{\pi A})\left(2Z_{\pi A}{R}_{\pi A}^2+\frac{Z_{01}{Z}_{02}}{Z_{\pi A}}\right)+(1-R_{\pi A}/R_{cA})\left(2Z_{cA}{R}_{cA}^2+\frac{Z_{01}{Z}_{02}}{Z_{cA}}\right)\right]\\ & \cdot \left[R_{cB}(1-Z_{cB}/Z_{\pi B})+R_{\pi B}(1-Z_{\pi B}/Z_{cB})\right]=0(27)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& Z_{01}{Z}_{02}\left[R_{cA}(1-Z_{cA}/Z_{\pi A})+R_{\pi A}(1-Z_{\pi A}/Z_{cA})\right]\left[(1-R_{cB}/R_{\pi B})\frac{1}{Z_{\pi B}}+(1-R_{\pi B}/R_{cB})\frac{1}{Z_{cB}}\right]\\ & -Z_{01}{Z}_{02}\left[R_{cA}(1-Z_{cA}/Z_{\pi A})+R_{\pi A}(1-Z_{\pi A}/Z_{cA})\right]\frac{R_{cA}-R_{\pi A}}{R_{cA}{R}_{\pi A}(Z_{\pi A}{R}_{\pi A}-Z_{cA}{R}_{cA})}\\ & \cdot \left(2R_{cB}{R}_{\pi B}-\frac{Z_{cB}}{Z_{\pi B}}{R}_{cB}^2-\frac{Z_{\pi B}}{Z_{cB}}{R}_{\pi B}^2\right)\\ & +Z_{01}{Z}_{02}\left(2R_{cA}{R}_{\pi A}-\frac{Z_{cA}}{Z_{\pi A}}{R}_{cA}^2-\frac{Z_{\pi A}}{Z_{cA}}{R}_{\pi A}^2\right)\\ & \cdot \frac{R_{cA}-R_{\pi A}}{R_{cA}{R}_{\pi A}(Z_{\pi A}{R}_{\pi A}-Z_{cA}{R}_{cA})}\left[R_{cB}(1-Z_{cB}/Z_{\pi B})+R_{\pi B}(1-Z_{\pi B}/Z_{cB})\right]\\ & +\left[(1-R_{cA}/R_{\pi A})Z_{\pi A}{R}_{\pi A}+(1-R_{\pi A}/R_{cA})Z_{cA}{R}_{cA}\right]\left(2R_{cB}{R}_{\pi B}-\frac{Z_{cB}}{Z_{\pi B}}{R}_{cB}^2-\frac{Z_{\pi B}}{Z_{cB}}{R}_{\pi B}^2\right)\\ & -\left[(1-R_{cA}/R_{\pi A})\left(Z_{\pi A}{R}_{\pi A}^2+\frac{Z_{01}{Z}_{02}}{Z_{\pi A}}\right)+(1-R_{\pi A}/R_{cA})\left(Z_{cA}{R}_{cA}^2+\frac{Z_{01}{Z}_{02}}{Z_{cA}}\right)\right]\\ & \cdot \left[R_{cB}(1-Z_{cB}/Z_{\pi B})+R_{\pi B}(1-Z_{\pi B}/Z_{cB})\right]=0(28)\end{array}$$

$$\frac{R_{cA}(1-Z_{cA}/Z_{\pi A})+R_{\pi A}(1-Z_{\pi A}/Z_{cA})}{R_{cB}(1-Z_{cB}/Z_{\pi B})+R_{\pi B}(1-Z_{\pi B}/Z_{cB})}-\frac{2R_{cA}{R}_{\pi A}-\frac{Z_{cA}}{Z_{\pi A}}{R}_{cA}^2-\frac{Z_{\pi A}}{Z_{cA}}{R}_{\pi A}^2}{2R_{cB}{R}_{\pi B}-\frac{Z_{cB}}{Z_{\pi B}}{R}_{cB}^2-\frac{Z_{\pi B}}{Z_{cB}}{R}_{\pi B}^2}=0.(29)$$

 因此，我们总共有九个设计方程，需要确定八个模式参数；可能存在一些冗余，但这一点尚未探讨。从这一点出发，巴伦设计所采用的方法受到模式参数的可实现性以及设计方程复杂性的推动。我们并未试图精确求解设计方程，而是采用了一种谱域程序来计算结构物理尺寸（如条带宽度和条带偏移距离）在一定范围内的模式参数。这些数据在设计方程中进行了数值测试以获得“最佳拟合”。因此，我们确保了模式参数的可实现性。

 结果发现，最后四个方程相对“容易”满足；也就是说，它们的左侧值相对较小。然而，用于指定$|S_{31}{|}^2$响应的五个方程的值要大得多。因此，在用于测试最佳拟合的数值程序中，我们测试了(13)-(17)式左侧绝对值之和是否低于用户指定的值，并且测试了(26)-(29)式左侧绝对值之和是否低于另一个用户指定的值。

IV. 设计示例

 为了验证此理论并展示其在MMIC应用中的实用性，我们设计了一个巴伦，计划在125μm的半绝缘GaAs衬底上实现（${ϵ}_r=12.9$）。上层介质是二氧化硅（${ϵ}_r=3.9$），这是一种良好的绝缘体，可以可靠地沉积在薄至0.2μm的层中。对于此巴伦，上层介质越薄越好，因为条带间的耦合更紧密。上层介质层厚度选择为0.75μm。输入和输出馈线的特性阻抗均为$Z_0=50\Omega$。

 为了避免实现上的困难，我们要求顶层导体至少与底层导体一样宽。当然，我们也要求相速度值接近。我们发现，当底部的条带比顶部宽得多时，相速度相似。此外，上层介质越薄、其介电常数越高，由于紧密耦合，相速度变得越相似。这再次证实了我们的直觉，即更紧密的耦合可增强巴伦性能并提高设计流程的准确性。

 设计流程的结果是，每段的顶层条带都位于底层条带中心上方，并且A段和B段具有相同的线宽，这大概是由于输出线的特性阻抗与输入线相等。巴伦的物理和模式参数为：顶层条带宽度=1密耳；底层条带宽度=30密耳；长度=262.4密耳；$Z_c=50.1\Omega$；$Z_{\pi }=-1232\Omega$；$v_c=1.196\times 10^{8}m/s$；$v_{\pi }=9.29\times 10^{7}m/s$；$R_c=0.0105$；$R_{\pi }=1.011$。相速度相差25%！

 图2显示了根据本理论以及全波分析软件Sonnet[8]的仿真结果，输出相位差的绝对值以及$|S_{21}|$和$|S_{11}|$的频率响应。在整个频率范围内，$S_{21}$的幅度几乎等于$S_{31}$的幅度，因此未显示。“理想”响应是假设相速度等于其平均值时的响应，“计算”响应是根据此处推导出的精确$S$参数（它考虑了c模和$\pi$模不同的相速度）计算得出的。正如预期的那样，模式相速度的差异导致了理想性能与计算性能之间的差异。我们在图2中看到了良好的相位响应，相位差与期望的$180^{\circ }$相差小于$2^{\circ }$。我们的计算结果与Sonnet结果之间的细微差异可归因于Sonnet考虑了所有不连续性和耦合机制，例如线宽变化引起的不连续性、B耦合线段开路端的边缘效应，以及输出端口处底层条带端部之间的耦合。此外，我们假设了理想短路，而Sonnet则将短路建模为通孔。尽管如此，我们看到我们的理论结果与Sonnet的结果非常吻合，这证实了我们的设计流程至少对于初次迭代设计的有效性。

图2. 所设计MMIC巴伦的计算输出相位差$|<S_{21}-<S_{31}|$、$|S_{21}|$和$|S_{11}|$随频率变化曲线。

REFERENCES

[1] N. Marchand, “Transmission-line conversion transformers,” Electronics, vol. 17, no. 12, pp. 142-145, Dec. 1944.

[2] A. M. Pavio and A. Kikel, “A monolithic or hybrid broadband compensated balun,” in IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Dig., 1990, pp. 483-486.

[3] C. M. Tsai and K. C. Gupta, “A generalized model for coupled lines and its applications to two-layer planar circuits,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-40, pp. 2190-2199, Dec. 1992.

[4] V. K. Tripathi, “Asymmetric coupled transmission lines in an inhomogeneous medium,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-23, pp. 734-739, Sept. 1975.

[5] J. H. Cloete, “Graphs of circuit elements for the Marchand balun,” Microwave J., vol. 24, pp. 125-128, May. 1981.

[6] C. Nguyen and K. Chang, “On the analysis and design of spurline bandstop filters,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-33, pp. 1416-1421, Dec. 1985.

[7] V. K. Tripathi, “Equivalent circuits and characteristics of inhomogeneous nonsymmetrical coupled-line two-port circuits,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-25, pp. 140-142, Feb. 1977.

[8] Sonnet Release 2.3, Sonnet Software, Inc., Liverpool, NY, 1991.