迈向超高效计算：深度解析 LLM 1-bit 量子化中的 QEP 与 QQA 技术

前言：当量子退火遇上大模型压缩

一直在关注量子退火和大模型的结合点，富士通近期发布的“Takane”模型引起了我极大的兴趣。该模型通过 1-bit 量子化技术实现了显存占用减少 94%，同时保持了 89% 的精度。

这不仅仅是工程上的胜利，更是算法层面的突破。特别是其核心技术栈中引入的 准量子退火（Quasi-Quantum Annealing, QQA），巧妙地将原本属于 NP-hard 的离散组合优化问题，转化为 GPU 上可并行的连续优化问题。

本文将基于富士通的技术报告，按照其 6 步走（Steps 1-6） 的工作流，深入剖析 1-bit 量子化的实现细节，重点推导 QEP（量子化误差传播） 的数学原理，并提供 QQA 的核心实现代码。

核心背景：1-bit 量子化的挑战

训练后量子化（PTQ）是目前的主流。将 FP16 压到 INT4 相对容易，但压到 1-bit（即权重仅有 $\pm 1$ 或 { 0 , 1 } \{0, 1\} {0,1}）则面临两大核心难题：

1. 误差累积：层级量子化（Layer-wise）通常假设层间独立，但在极低比特下，微小的误差会被层层放大（指数级增长）。
2. 优化困难：1-bit 权重的选择本质上是一个大规模的离散组合优化问题。

富士通的方案正是为了解决这两个问题。

1-bit 量子化完整工作流 (Step 1 ~ Step 6)

STEP 1：模型探查 (Model Inspection)

在手术开始前，必须先进行“体检”。

• 离群值分析：通过计算权重的尖度（Kurtosis），我们发现 LLM 中存在显著的“系统性离群值”（Systematic Outliers）。
• 影响：这些离群值虽然稀疏，但承载了巨大的信息量。如果直接对其进行粗暴的截断或量化，模型性能会瞬间崩塌。

STEP 2：模型分解与 QEP (Quantization Error Propagation)

这是解决“误差累积”的关键一步。

传统 Layer-wise PTQ 的局限

传统的做法是逐层最小化输出误差：
$$\underset{{\hat{W}}_l}{\min }\Vert W_l{X}_l-{\hat{W}}_l{X}_l{\Vert }_F^2$$
其中 $X_l$ 是未量化的输入。这忽略了一个事实：在实际推理中，第 $l$ 层的输入是上一层量化后的输出 ${\hat{X}}_l$。这种不匹配导致了误差的指数级扩散。

QEP 的数学原理

QEP（Quantization Error Propagation）的核心思想是：在优化当前层时，必须考虑到前一层已经产生的量化误差。

新的目标函数定义为：
$$\underset{{\hat{W}}_l}{\min }\Vert W_l{X}_l-{\hat{W}}_l{\hat{X}}_l{\Vert }_F^2$$
注意这里：目标仍是逼近原始输出 $W_l{X}_l$，但操作数变成了量化后的输入 ${\hat{X}}_l$。

为了高效求解，我们引入修正后的目标权重 $W_l^{\ast }$。如果假设 ${\hat{W}}_l$ 是连续的，上述问题的解析解为：
$$W_l^{\ast }=W_l+W_l(X_l-{\hat{X}}_l){\hat{X}}_l^{\top }({\hat{X}}_l{\hat{X}}_l^{\top }{)}^{-1}$$

令残差 ${\delta }_l=X_l-{\hat{X}}_l$，Hessian 逆近似 ${\hat{H}}_l^{-1}=({\hat{X}}_l{\hat{X}}_l^{\top }{)}^{-1}$，则有：
$$W_l^{\ast }=W_l+\alpha \cdot W_l{\delta }_l{\hat{X}}_l^{\top }{\hat{H}}_l^{-1}$$
(注：$\alpha$ 是为了防止对校准数据过拟合而引入的系数)

结论：在 Step 2 中，我们不再逼近原始权重 $W_l$，而是逼近修正后的权重 $W_l^{\ast }$。这样，优化问题转化为：
$$\underset{{\hat{W}}_l}{\min }\Vert W_l^{\ast }{\hat{X}}_l-{\hat{W}}_l{\hat{X}}_l{\Vert }_F^2$$
这使得左右两边都使用了 ${\hat{X}}_l$，大大简化了计算并补偿了前序误差。

STEP 3：前处理 (Pre-processing)

为了让权重更容易被量化，需要进行数学变换：

• 平滑与旋转：使用由 $W_l^{\ast }$ 指导的变换矩阵（如正交变换），将“尖锐”的离群值能量分散到其他维度，使分布更均匀（Flattens the distribution）。

STEP 4：确定量化格式 (Quantization Format)

1-bit 量化并非简单的 $\text{sign}(w)$。为了保持表达能力，通常采用 DBF (Factorized Binary) 或类似格式：
$$\hat{W}=D_a\cdot Q_{\text{binary}}\cdot D_b$$
其中 $Q_{\text{binary}}$ 是 $\pm 1$ 矩阵，$D_a,D_b$ 是浮点缩放因子。

STEP 5：执行量子化与 QQA (Quasi-Quantum Annealing)

这是作为量子退火研究者最关注的部分。Step 4 确定了格式，Step 5 则需要找到最优的 $Q_{\text{binary}}$。这是一个 NP-hard 的组合优化问题。

富士通提出了 QQA，将量子退火思想引入基于梯度的优化中。

QQA 的核心机制

1. 连续松弛：将离散变量 x ∈ { 0 , 1 } x \in \{0, 1\} x∈{0,1} 松弛为连续变量 $x_{relaxed}\in \mathbb{R}$，并通过 Sigmoid 或类似的激活函数 $\sigma (\cdot )$ 映射到 $(0,1)$。
2. 能量函数设计：
   $$\mathcal{L}={\mathcal{L}}_{\text{target}}+\gamma (t)\cdot {\mathcal{L}}_{\text{entropy}}+\alpha \cdot {\mathcal{L}}_{\text{diversity}}$$
   • ${\mathcal{L}}_{\text{target}}$: 原始 MSE 损失。
   • ${\mathcal{L}}_{\text{entropy}}$: 推动解向 0 或 1 收敛的惩罚项。
   • $\gamma (t)$: 类似退火调度的参数，从负值（鼓励平滑探索）逐渐变为正值（强制二值化）。

PyTorch 实现示例 (Concept Code)

以下代码展示了 QQA 的核心逻辑，利用 GPU 的并行能力同时搜索数千个解（Parallel QQA）：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim

def qqa_optimize(target_func, n_vars, parallel=128, steps=5000):
    """
    QQA 优化器核心逻辑演示
    Args:
        target_func: 目标函数 (计算 loss)
        n_vars: 优化变量的维度
        parallel: 并行搜索的粒子数量 (利用 GPU 优势)
        steps: 优化步数
    """
    # 1. 初始化连续松弛变量 (Batch size = parallel)
    # x_relaxed 不受限，通过后续处理映射到 0-1
    x_relaxed = nn.Parameter(torch.rand(parallel, n_vars).cuda())
    
    # 使用 AdamW 优化器
    optimizer = optim.AdamW([x_relaxed], lr=0.1)
    
    # 2. 退火参数设置
    gamma_min = -2.0  # 初始阶段：负值鼓励处于 0.5 附近 (探索)
    gamma_max = 0.1   # 结束阶段：正值强迫推向 0 或 1 (利用/固化)
    alpha = 0.3       # 多样性惩罚系数

    for t in range(steps):
        # 线性调度 gamma
        gamma = gamma_min + (gamma_max - gamma_min) * (t / steps)
        
        optimizer.zero_grad()
        
        # --- 计算各项 Loss ---
        
        # A. 目标函数 Loss (MSE 等)
        # 在计算前通常会通过 sigmoid 将 x_relaxed 映射到 (0,1)
        x_prob = torch.sigmoid(x_relaxed) 
        loss_target = target_func(x_prob).mean()
        
        # B. 熵/二值化惩罚 (Annealing Term)
        # 当 gamma > 0 时，惩罚 x 接近 0.5 的情况，推动 x -> 0 或 1
        # 公式形式： (1 - (2x - 1)^4) * gamma
        # 形状像是一个倒扣的碗 (gamma>0) 或 正碗 (gamma<0)
        entropy_term = (1.0 - (2.0 * x_prob - 1.0) ** 4).mean()
        
        # C. 多样性惩罚 (Diversity Term)
        # 防止所有 parallel 粒子收敛到同一个局部最优
        diversity_term = x_relaxed.std(dim=0).mean()
        
        # 总 Loss
        # 注意：多样性是希望越大越好，所以减去 (或者在 loss 中加负号，此处假设 alpha 为正且希望 std 大)
        # 实际实现通常是: loss - alpha * diversity
        loss = loss_target + gamma * entropy_term - alpha * diversity_term
        
        loss.backward()
        optimizer.step()

    # 3. 最终二值化与择优
    with torch.no_grad():
        x_final = (x_relaxed >= 0).float() # 简单的阈值处理
        scores = target_func(x_final)
        best_score, best_idx = scores.min(0)
        best_solution = x_final[best_idx]
        
    return best_solution, best_score
    

通过这种方式，QQA 避免了传统启发式算法（如模拟退火 SA、遗传算法 GA）在 GPU 上难以并行化的弱点，利用梯度下降高效地在巨大的解空间中“退火”。

STEP 6：推理加速 (Inference Speedup)

完成了极其困难的优化后，最后一步是工程实现。

1. Kernel Fusion：将反量化（Dequantization）和矩阵乘法（GEMM）融合。

2. Bit-packing：将 1-bit 权重紧凑存储，利用专用 CUDA Kernel（如 MARLIN
   的变体）实现极高的内存带宽利用率。

总结

富士通的 1-bit 量子化技术路线图给我们带来了深刻的启示：

1. QEP (Step 2) 告诉我们：在深层网络中，“纠偏”（基于前层误差调整目标）比单纯的“逼近”（Layer-wise 独立优化）重要得多。
2. QQA (Step 5) 展示了：深度学习优化器（如 AdamW）配合物理启发的退火策略，可以极其高效地解决大规模离散组合优化问题。

这种将信息论（误差传播）、组合优化（QQA）与深度学习结合的跨学科方法，正是未来超高效 AI 计算的必经之路。

参考文献

1. https://speakerdeck.com/yumaichikawa/nlpkorokiumu20251022-chao-xiao-lu-hua-henotiao-zhan-llm-1bitliang-zi-hua-norodomatupu
2. https://speakerdeck.com/nagiss/fujitsunoliang-zi-hua-ji-shu-wowan-quan-li-jie-suru