本文涉及知识点

【C++】树状数组的使用、原理、封装类、样例

P9843 [ICPC 2021 Nanjing R] Paimon Sorting

题目描述

派蒙刚刚发明了一种新的排序算法，看起来很像“冒泡排序”，但有一些不同之处。它接受一个长度为 $n$ 的从 1 开始索引的序列 $A$ 并对其进行排序。其伪代码如下所示。

// 排序算法
SORT(A)
  for i from 1 to n // n 是 A 中元素的数量
    for j from 1 to n
      if a[i] < a[j] // a[i] 是 A 中的第 i 个元素
        Swap a[i] and a[j]

如果你不相信这段算法可以对一个序列进行排序，你的任务就是证明它。无论如何，问题如下：

给定一个整数序列 $A=a_1,a_2,\cdots ,a_n$，对于其每个长度为 $k$ 的前缀 $A_k$（即，对于每个 $1\le k\le n$，考虑子序列 $A_k=a_1,a_2,\cdots ,a_k$），计算调用 $\text{SORT}(A_k)$ 时执行的交换次数。

输入格式

有多个测试用例。输入的第一行包含一个整数 $T$，表示测试用例的数量。对于每个测试用例：

第一行包含一个整数 $n$ ($1\le n\le 10^5$)，表示序列的长度。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ ($1\le a_i\le n$)，表示给定的序列。

保证所有测试用例的 $n$ 之和不超过 $10^6$。

输出格式

对于每个测试用例，输出一行，包含 $n$ 个用空格分隔的整数 $s_1,s_2,\cdots ,s_n$，其中 $s_i$ 是调用 $\text{SORT}(A_i)$ 时执行的交换次数。

请不要在每行的末尾输出多余的空格，否则你的解答可能会被判为错误！

输入输出样例 #1

输入 #1

3
5
2 3 2 1 5
3
1 2 3
1
1

输出 #1

0 2 3 5 7
0 2 4
0

说明/提示

题面翻译由 ChatGPT-4o 提供。

树状数组 逆序对

性质一：i循环完后，a[1…i]升序，且a[i]是整个数组最大值。
推论一：i>1，i < j不会交换。
推论二：i >1 ,任意i时的交换次数为：f(i)=$j<i，且a[j]>a[i]的数量，即逆序对的数量。如果有多个a[j]相等，只算一次。$
性质二：处理i1，不影响f(i2),i1 <i2。
过程：i为1时，模拟。i >1，逆序对。
时间复杂度：O(nnlogn)
通过ans[n]递推ans[n+1]。
令 $M=\max (ans[\mathrm{1...}n])$,如果a[n+1]==M，则ans[n+1]=ans[n]。
如果ans[n+1]<M，效果和ans[n+1]==M，a[1…n]中大于a[n+1]的数量。$i\in [i,n]时，结果完全一样$
如果ans[n+1]>M，则ans[n+1]=ans[n]+iMax+1 。i=1时多交换一次，n+1时多交换一次。如果有两个或更多的M，令第二个M的下标是j1。则a[1…j1-1]的逆序对数不变，之前是M，现在是a[n+1]。
则a[j1…n-1]中的非M，逆序对+1,之前是M，现在是M和a[n+1]；M逆序对也+1，增加了a[n+1],M)。故2 + (n-j1)
注意：此题写测试程序容易O(nnn)，方便测试。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

template<class ELE = int >
class ITreeArrSumOpe
{
public:
	virtual void Assign(ELE& dest, const ELE& src) = 0;
	virtual ELE Back(const ELE& n1, const ELE& n2) = 0;
};

template<class ELE = int >
class CTreeArrAddOpe :public ITreeArrSumOpe<ELE>
{
public:
	virtual void Assign(ELE& dest, const ELE& src) {
		dest += src;
	}
	virtual ELE Back(const ELE& n1, const ELE& n2) {
		return n1 - n2;
	}
};

template<class ELE = int, class ELEOpe = CTreeArrAddOpe<ELE> >
class CTreeArr
{
public:
	CTreeArr(int iSize) :m_vData(iSize + 1)
	{

	}
	void Add(int index, ELE value)
	{
		if ((index < 0) || (index >= m_vData.size() - 1)) { return; }
		index++;
		while (index < m_vData.size())
		{
			m_ope.Assign(m_vData[index], value);
			index += index & (-index);
		}
	}
	ELE Sum(int index)//[0...index]之和
	{
		index++;
		ELE ret = 0;
		while (index)
		{
			m_ope.Assign(ret, m_vData[index]);
			index -= index & (-index);
		}
		return ret;
	}
	ELE Sum() { return Sum(m_vData.size() - 2); }
	ELE Get(int index)
	{
		return m_ope.Back(Sum(index), Sum(index - 1));
	}
private:
	ELEOpe m_ope;
	vector<ELE> m_vData;
};

class Solution {
		public:
			vector<long long> Ans(vector<int>& a) {
				const int N = a.size();
				CTreeArr<int> bit(N + 1);
				vector<long long> ans = { 0 };
				int iMax = a[0];
				vector<vector<int>> inxs(N + 1);
				inxs[a[0]].emplace_back(0);
				int cnt = 1;
				bit.Add(a[0], 1);
				for (int i = 1; i < N; i++) {
					long long add = 0;
					if (a[i] > iMax) {
						if (inxs[iMax].size() <= 1) {
							add = 2;
						}
						else
						{
							add = 2 + (i - inxs[iMax][1]);
						}
					}
					else {
						add = cnt - bit.Sum(a[i]);
					}
					ans.emplace_back(ans.back() + add);
					if (a[i] > iMax) {
						iMax = a[i];						
					}
					inxs[a[i]].emplace_back(i);
					if (bit.Get(a[i]) > 0) { continue; }//重复数字
					cnt++;
					bit.Add(a[i], 1);
				}
				return ans;
			}
		};
int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	int T;	
	cin >> T;
	for (int i = 0; i < T; i++)
	{
		auto a = Read<int>();
#ifdef _DEBUG	
		//printf("N=%d", N);
		Out(a, ",a=");
		//Out(ope, ",ope=");
#endif // DEBUG		
		auto res = Solution().Ans(a);
		cout << res[0];
		for (int i =1 ; i < res.size();i++)
		{
			cout <<  " " << res[i] ;
		}
		cout << "\n";
	}

	return 0;
};

单元测试

		vector<int> a;
		void Check(const vector<int>& a, const vector<long long>& res) {
			const int N = a.size();
			for (int i = 1; i <= N; i++) {
				long long ans = 0;
				vector<int> tmp(a.begin(), a.begin() + i);
				for (int j = 0; j < i; j++) {
					for (int k = 0; k < i; k++) {
						if (tmp[j] < tmp[k]) {
							swap(tmp[j], tmp[k]);
							ans++;
						}
					}
				}			
				Assert::AreEqual(ans, res[i - 1], to_wstring(i).c_str());
			}
		}
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			a = { 2,3,2,1,5 };
			auto res = Solution().Ans(a);
			AssertV({ 0,2,3,5,7 }, res);
			Check(a, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			a = { 1,2,3 };
			auto res = Solution().Ans(a);
			AssertV({ 0,2,4 }, res);
			Check(a, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			a = { 1 };
			auto res = Solution().Ans(a);
			AssertV({ 0 }, res);
			Check(a, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod14)
		{
			a = { 1,1,2,3 };
			auto res = Solution().Ans(a);
			Check(a, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod24)
		{
			a = { 4,2,2,2,1,5,7,8,9,12,15,4,5,2,1,1,2,3,4,20,20,21,22,22,23,24,1,25,27,28 };
			auto res = Solution().Ans(a);
			Check(a, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

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https://edu.csdn.net/course/detail/38771
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https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。