一维/二维相控阵天线3dB波束宽度的计算，附AI自动生成可视化图形

今天我们来聊聊相控阵天线一个非常关键的参数：3dB波束宽度，它直接决定了天线的分辨能力和覆盖范围。

抛物面天线的3dB波束宽度有公式可以估算：

$${\theta }_{3dB}\approx \frac{70\lambda }{D}$$
这里的 $D$ 是天线的直径，$\lambda$ 是信号的波长。这意味着，天线直径越大或频率越高（波长越短），波束越窄。

但到了相控阵天线这里，情况就变得复杂了。天线面是由几十、几百甚至几千个小的天线单元（阵元）组成的，通过电子扫描的方式形成指向波束。其波束宽度的计算肯定没法直接套用抛物面天线的公式了。

那么相控阵的波束宽度到底是怎么算的？跟哪些参数相关，不同的扫描角度下，波束会变化吗？

今天这篇文章，咱们就摊开来讲。

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核心参数：决定波束角度的三要素

在动手计算之前，我们需要了解决定相控阵天线波束宽度的三个核心参数。

1. 阵元间距 $d$

这是相邻两个天线单元中心之间的距离。为了不产生讨厌的栅瓣（不希望的副瓣高点），在不考虑扫描时，工程上一般要求 $d$ 不超过半个波长。
在Ku频段（如12.5GHz），波长 $\lambda$ 大约为24mm，所以 $d=0.5\lambda =12mm$ 是一个常用值。

2. 阵元数量 $N$

指在某个维度上的天线单元总数。

• 对于一维线阵（1行n列），阵元数量 $N=n$。
• 对于二维平面阵（m行n列），计算X方向（方位面）波束时，$N_x=m$；计算Y方向（俯仰面）时，$N_y=n$。

3. 天线有效孔径长度 $L$

在相控阵中，孔径长度 $L$ 通常指第一阵元中心到最后一个阵元中心的距离，也称为阵列的物理总长度：

$$L=(N-1)\cdot d$$
为了快速估算波束宽度，有时也使用等效孔径 $L_{eff}=N\cdot d$。

对于一维8阵元天线来说：有效辐射孔径 $L_{eff}=8\times 12mm=96mm$ 。

对于一个 $8\times 8$ 的阵列，间距 $d=12mm$，那它的有效孔径长度 $L$ 就是 $8\times 12=96mm$。

对于一个 $16\times 8$ 的阵列，间距 $d=12mm$，那它的有效孔径长度 $L$ 分为X轴和Y轴，其中 $L_x=192mm$，$L_y=96mm$。

孔径效应：
根据天线原理，天线的波束宽度与有效孔径成反比。这意味着增加阵元数量或在允许范围内增大阵元间距，都可以增大阵列的物理孔径（$L$），从而使波束变窄。

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一维相控阵的3dB波束宽度

咱们先从最简单的一维均匀线阵看起。

计算公式（适用于法向扫描的均匀线阵）

当波束垂直于天线阵列面（法向，扫描角 ${\theta }_0=0^{\circ }$）时，其半功率波束宽度的近似公式为：

$${\theta }_{3dB}(0^{\circ })\approx \frac{50.8^{\circ }}{(N\cdot d)/\lambda }$$

这个公式来源于弧度制公式 $HPBW\approx 0.886\lambda /(N\cdot d)$（0.886弧度约等于50.8°）。

当波束扫描至角度 ${\theta }_0$ 时（${\theta }_0$ 定义为偏离阵列法线的角度），有效孔径在扫描方向上的投影会缩小。因此，波束宽度会随之展宽，修正公式为：

$${\theta }_{3dB}({\theta }_0)\approx \frac{{\theta }_{3dB}(0^{\circ })}{\cos {\theta }_0}=\frac{50.8^{\circ }}{(N\cdot d/\lambda )\cdot \cos {\theta }_0}$$

实例分析：1×8 阵元天线

假设工作频率为12.5GHz（$\lambda =24mm$），间距 $d=12mm(0.5\lambda )$。
其阵列物理总长度 $L=(8-1)\times 12mm=84mm$。

等效孔径

$$N\cdot d/\lambda =8\times 0.5=4$$

我们来看看不同扫描角度下的波束宽度变化：

扫描角度 (θ₀)	3dB波束宽度计算过程（使用近似公式）	结果
0° (法向)	$\theta \approx 50.8^{\circ }/(8\times 0.5)=50.8^{\circ }/4$	12.7°
30°	$12.7^{\circ }/\cos (30^{\circ })\approx 12.7^{\circ }/0.866$	14.7°
45°	$12.7^{\circ }/\cos (45^{\circ })\approx 12.7^{\circ }/0.707$	18.0°
60°	$12.7^{\circ }/\cos (60^{\circ })=12.7^{\circ }/0.5$	25.4°
70°	$12.7^{\circ }/\cos (70^{\circ })\approx 12.7^{\circ }/0.342$	37.1°

可以看到，当扫描角度达到60°时，波束宽度展宽到了法向的2倍。

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二维相控阵：3dB波束的形状

二维阵列的波束宽度需要在两个正交的平面（通常是方位面和俯仰面）上分别计算，其截面形状与两个平面的波束宽度之比有关。

假设参数如下：

• 工作频率 ( $f$ ): $12.5GHz$
• 波长 ( $\lambda$ ): $\lambda =c/f=24mm$
• 阵元间距 ( $d$ ): $d=0.5\lambda =12mm$

二维相控阵天线可分为对称阵列和非对称阵列。

1. 对称阵列示例：8×8阵列

对于 $8\times 8$ 的对称阵列，X方向和Y方向的阵元数相同（$N_x=N_y=8$），间距也相同。

• X方向波束宽度：

  $${\theta }_{3dB-x}(0^{\circ })\approx 50.8^{\circ }/(8\times 0.5)=12.7^{\circ }$$

• Y方向波束宽度：

  $${\theta }_{3dB-y}(0^{\circ })\approx 50.8^{\circ }/(8\times 0.5)=12.7^{\circ }$$

因此，在法向（0°）时，天线的波束截面是一个圆形。

注意：即使进行扫描，由于X和Y方向孔径的投影情况在各自平面内是相同的，波束截面在方位角和俯仰角这两个维度上会等比例展宽，因此在角度空间映射上仍保持圆形。

当扫描角度 ${\theta }_0=60^{\circ }$ 时：

• X和Y方向波束宽度均展宽为：$12.7^{\circ }/\cos (60^{\circ })=25.4^{\circ }$，截面依然为圆形。

2. 非对称阵列示例：16×8阵列

这在实际产品中非常常见（如128个阵元，16列8行）。

• 阵列规模: $N_x=16$ (长边), $N_y=8$ (短边)
• 等效孔径（以电尺寸计): $N_x\cdot d/\lambda =8$, $N_y\cdot d/\lambda =4$

其法向波束宽度在两个方向上独立计算：

• X方向（16阵元）： 法向波束宽度 =
  $$50.8^{\circ }/(16\times 0.5)=50.8^{\circ }/8=6.35^{\circ }$$

• Y方向（8阵元）： 法向波束宽度 =
  $$50.8^{\circ }/(8\times 0.5)=50.8^{\circ }/4=12.7^{\circ }$$

此时，天线的法向波束截面是一个椭圆（6.35° × 12.7°）。

进行扫描时，两个方向的波束将根据其扫描平面（通常是一个平面内扫描）分别按 $1/\cos {\theta }_0$ 规律展宽。

扫描到60度时：

• X方向波束： 展宽到 12.7°，是扫描角0°时波束宽度的2倍。
• Y方向波束： 展宽到 25.4°，是扫描角0°时波束宽度的2倍。

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影响3dB波束宽度的关键因素

1. 工作频率

从公式 ${\theta }_{3dB}\propto \lambda /(N\cdot d)$ 可知，频率越高（波长$\lambda$越短），电尺寸 $(N\cdot d)/\lambda$ 越大，波束越窄。

结论： 频率越高，波束越窄。这就是Ka频段（_{30GHz）天线通常比Ku频段（}12GHz）天线波束更窄的原因。

2. 扫描角度

扫描角度 ${\theta }_0$ 通过 $\cos {\theta }_0$ 项影响波束宽度。扫描角越大，有效投影孔径越小，波束越宽。

关键关系： 波束宽度与 $\cos {\theta }_0$ 成反比，扫描角越大，波束展宽越严重。

在工程应用中，大角度扫描会带来两个主要问题：

• 增益下降： 增益下降与扫描角度的关系约为 $G({\theta }_0)\propto \cos {\theta }_0$。扫描至60°时，理论增益相对于法向下降约 $10{\log }_{10}(\cos 60^{\circ })=-3dB$（功率密度减半）。
• 邻星干扰风险增加： 波束展宽后，主瓣可能覆盖到邻近的卫星轨道位置，增加邻星干扰风险。

3. 阵列规模（阵元数量与间距）

增加阵元数量或（在无栅瓣前提下）增大阵元间距，可以增大孔径$L$，是缩窄波束最直接的手段。

结论： 在条件允许下，增大孔径可以有效压缩波束。

例如，将 $8\times 8$ 阵列（64元）在相同间距下升级为 $16\times 16$（256元），每个维度的阵元数翻倍，孔径翻倍，法向波束宽度理论上将减半。

某Ka频段，768阵元的相控阵天线，法向的3dB波束角度大约是5°；当我们把2个相控阵天线按照1*2的方式排列合成之后，天线的法向3dB波束角度变成了2.6°。

当然，阵元数量的增加会直接带来成本和功耗的提升。

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16×8 天线3dB波束宽度性能曲线分析

从上面的分析，我们知道，相控阵天线3dB波束角度跟工作频率、扫描角度、天线阵元数量相关。

为了更直观地展现波束宽度与扫描角、频率的关系，我们可以用AI绘制性能曲线。以下以128阵元（16×8）的相控阵天线中16阵元方向（窄波束面）为例。

以下是我们用AI实现性能曲线的步骤：

1. 计算公式与参数设置

把相控阵天线3dB波束角度的计算公式和关键参数告诉AI 。

计算公式：

$${\theta }_{3dB}\left({\theta }_0,f\right)=\frac{50.8^{\circ }}{(N\cdot d/\lambda (f))\cdot \cos {\theta }_0}=\frac{50.8^{\circ }\cdot c}{(N\cdot d\cdot f\cdot \cos {\theta }_0)}$$
其中，$c$ 为光速。

关键参数：

• 阵元数 $N$： 16
• 物理间距 $d$： $12mm=0.012m$。
• 扫描角度 ${\theta }_0$： $0^{\circ }$ 到 $60^{\circ }$。
• 频率取值： 10.7GHz， 11.2GHz， 12.0GHz， 12.5GHz。

2. 让AI自动计算出不同频率条件下法向波束宽度的基准值。

法向波束宽度基准值：

• 10.7 GHz:

$$\begin{gathered} {\theta }_{3dB}(0^{\circ })\approx 50.8^{\circ }/(16\times 12/28.04) \\ \approx 7.42^{\circ } \end{gathered}$$

• 11.2 GHz:

$$\begin{gathered} {\theta }_{3dB}(0^{\circ })\approx 50.8^{\circ }/(16\times 12/26.79) \\ \approx 7.09^{\circ } \end{gathered}$$

• 12.0 GHz:

$$\begin{gathered} {\theta }_{3dB}(0^{\circ })\approx 50.8^{\circ }/(16\times 12/25.00) \\ \approx 6.61^{\circ } \end{gathered}$$

• 12.5 GHz:

$$\begin{gathered} {\theta }_{3dB}(0^{\circ })\approx 50.8^{\circ }/(16\times 12/24.00) \\ \approx 6.35^{\circ } \end{gathered}$$

3. 绘图的布局建议

告诉AI，你希望曲线画成什么样子，比如：

• 横坐标 : 扫描角度，单位：度 ( ${}^{\circ }$ )，范围： $0$ 至 $60$ ，分辨率是1°。

• 纵坐标 : 3dB 波束宽度 ，单位：度 ( ${}^{\circ }$ )，范围：范围设为 $5$ 至 $16$ 。

• 图例 : 图中有4条曲线，分别是10.7GHZ，11.2GHz，12.0GHz，12.5GHz这4个频率的波束角度，并在图中标注4条曲线对应的频率。

• 说明： 在图表的上方，说明图表展示的内容以及重要的参数设定（阵元间距和阵元数量）。

• 数据交互性： 鼠标悬停在曲线上时，会显示该角度下四个频点的精确波束宽度值，方便对比。

• 颜色区分： 不同频率对应的曲线用不同颜色表示。

4. 自动化绘图

告诉AI可以编写代码画图了。

5. 绘图结果

6. 曲线趋势解析

基于以上公式和参数绘制的曲线（图形示意）将呈现以下趋势：

1. 频率相关性： 频率越高，波束越窄。因此，12.5GHz的曲线将位于最下方（波束最窄），10.7GHz的曲线位于最上方（波束最宽）。
2. 扫描相关性： 所有曲线都遵循 $1/\cos {\theta }_0$ 的规律上升。在扫描角度较小时增长平缓，在接近60°时斜率急剧增大，表明大角度扫描对波束展宽效应非常显著。
3. 工程启示： 曲线直观地展示了不同频点和扫描角下的波束宽度，有助于在系统设计时评估增益、干扰和链路预算。

总结：

本文详细介绍了相控阵天线3dB波束宽度的计算方法及其影响因素。通过分析一维和二维相控阵天线的波束宽度，揭示了阵元间距、阵元数量、工作频率和扫描角度对波束宽度的影响。

此外，通过AI生成的性能曲线，直观展示了不同频率和扫描角度下的波束宽度变化，为系统设计提供了重要参考。

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