题目描述

给定 n 个非负整数 a1，a2，…，an，每个数代表坐标中的一个点 (i, ai) 。在坐标内画 n 条垂直线，垂直线 i 的两个端点分别为 (i, ai) 和 (i, 0)。找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

输入: [1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出: 49

解题思路

要明确一点：两线段之间形成的区域面积总是受限于短板高度和底板宽度。 在每一步中，我们不断更新max_area，并将指向较短线段的指针向较长线段那端移动一步。

• 暴力法时间复杂度$O(n^2)$，应该优化。
• 采用双指针（用数组下标也行），由两端向内夹逼。要明确一点：两线段之间形成的区域面积总是受限于短板高度和底板宽度。 在每一步中，我们不断更新max_area，并将指向较短线段的指针向较长线段那端移动一步。严格的正确性证明如下（消解状态）：
  • 每次选定围成水槽两板高度 h[i],h[j]​中的短板，向中间收窄1格。设每一状态下水槽面积为 S(i, j)(0 <= i < j < n)​，由于水槽的实际高度由两板中的短板决定，则可得面积公式 S(i, j) = min(h[i], h[j]) × (j - i)。
  • 在每一个状态下，无论长板或短板收窄 1格，都会导致水槽 底边宽度 - 1：
    • 若向内移动短板，水槽的短板min(h[i],h[j])​可能变大，因此水槽面积 S(i, j)​ 可能增大。
    • 若向内移动长板，水槽的短板min(h[i],h[j])​不变或变小，下个水槽的面积一定小于当前水槽面积。
  • 因此，向内收窄短板可以获取面积最大值。换个角度理解：（更严谨）
    • 若不指定移动规则，所有移动出现的S(i, j)的状态数为 C(n, 2)，即暴力枚举出所有状态。
    • 在状态S(i, j)​下向内移动短板至 S(i + 1, j)（假设 $h[i]<h[j]$），则相当于消去了 S(i,j−1),S(i,j−2),...,S(i,i+1)​ 状态集合。而所有消去状态的面积一定 <= S(i, j)​：
      • 短板高度：相比 S(i, j)相同或更短（<= h[i]​）；
      • 底边宽度：相比 S(i, j)​ 更短。
    • 因此所有消去的状态的面积都 < S(i, j)​。通俗的讲，我们每次向内移动短板，所有的消去状态都不会导致丢失面积最大值 。（正确性证明完毕）

参考代码

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& heights) {
        int res = 0;
        int left = 0, right = heights.size()-1;
        while (left < right) {
            int curArea = (right - left) * min(heights[left], heights[right]);
            res = max(res, curArea);
            if (heights[left] < heights[right]) {
                left++;
            } else {
                right--;
            }
        }
        return res;
    }
};