摘要

本文提出了一种用于毫米波（mmWave）无源阵列波达方向（DOA）估计的混合卷积波束空间（Hybrid CBS）方法 。在混合处理中，通过使用模拟合并器（analog combiner）来减少射频（RF）链路的数量，从而降低硬件成本 。随后，利用数字合并器和数字处理器来进行 DOA 估计 。在混合 CBS 中，模拟合并器等效于一个滤波器后接一个抽取器（或称下采样器）。这种抽取操作降低了维度和复杂度，因此对于通常用于毫米波的大规模阵列特别具有吸引力 。研究表明，尽管使用移相器的模拟合并器存在单位模（unit-modulus）约束，但具有任意系数的 CBS 滤波器仍然是可以实现的 。

本文还提出了一种基于非均匀抽取和差分共阵列（difference co-array）方法的新 CBS 方案 。该方案中保留的样本对应于一个被整数因子扩张（dilated）的虚拟稀疏阵列的传感器位置，这带来了更大的共阵列孔径，从而实现了更好的估计性能 。共阵列方法还允许识别出比 RF 链路数量更多的信源 DOA 。此外，通过利用随快拍变化的随机或确定性滤波器延迟，本文提出了一种新的信源去相关方法，以确保共阵列方法的有效性 。

文中还推导了基于包括 CBS 在内的任意波束空间输出的 DOA 估计的克拉美-罗界（Cramer-Rao bound）。作为基于 Capon 波束形成的 CBS 变体，Capon-CBS 的设计阶段也在混合模拟和数字架构中得以实现 。仿真结果表明，与以往的方法相比，混合 CBS 具有更小的估计误差、更高的 DOA 分辨率以及更低的硬件复杂度 。

I. INTRODUCTION

近年来，毫米波（mmWaves）阵列信号处理已成为一个重要课题 。其中一个突出的应用是 5G 中的毫米波多输入多输出（MIMO）系统 。考虑毫米波的一个主要原因是其相比高度拥挤的低频微波频段能提供更大的带宽，但也面临新的挑战，例如毫米波高频段的强路径损耗 。为了对抗强路径损耗，人们使用大规模阵列来获得巨大的波束赋形增益 。由于毫米波天线尺寸小，大规模阵列在实际中是可行的 。

然而，在此类高频下混合信号组件的高功耗阻止了在大规模毫米波阵列中为每个天线配备一个射频（radio frequency，RF）链路并进行纯数字信号处理的做法 。相反（Instead），许多人提出使用混合模拟和数字处理（hybrid analog and digital
processing）来降低硬件复杂度 。如后文图 2 所示，给定一个大型接收均匀线性阵列（ULA），输出

• 首先由模拟合并器处理 。模拟合并器产生低维输出，
• 然后通过较少数目的 RF 链路传输 。
• 最后，在低维 RF 链路输出上进行数字合并器（digital combiner）和后续的数字处理，以完成所需的任务，

例如波达方向（DOA）估计或 MIMO 信道估计 。由于减少了 RF 链路的数量，这种降维可以降低硬件复杂度和功耗 。

DOA 或信道估计可以使用子空间方法（如文献 [4] 和 [6]）或压缩感知方法（如混合多目标进化范式 [8] 或交替最小化方法 [9]）来完成 。在本文中，我们特别考虑基于线性无源阵列的 DOA 估计 。对于此应用，模拟合并器也称为波束空间矩阵（beamspace matrix） 。其低维输出仅包含位于特定波束或通带内的 DOA 信息 。我们将专注于基于低复杂度混合波束空间方法（a low complexity hybrid beamspace method）为大规模阵列设计模拟合并器，正如上文所述，这对受限于 RF 链路的毫米波系统非常重要 。

模拟合并器通常通过移相器网络（a phase shifter network）实现 ，以降低硬件成本。这种实现方式施加了一个约束，即模拟处理矩阵的所有条目必须具有单位模（即幅度为 1） 。在经典波束空间方法 [10], [11] 中，合并器被设计为 DFT 波束形成器 。DFT 波束形成器具有单位模条目，因此可以直接应用于混合架构中，如文献 [4] 和 [12] 所述 。然而，其第一旁瓣仅获得 13 dB 的衰减，且衰减不良的阻带信源可能导致较大的估计误差 。可以使用其他标准数字滤波器（如 Parks-McClellan 滤波器 [13]）来实现更大的阻带衰减 。这通过使用数字滤波器的思想激发了我们提出一种新的混合波束空间方法 。

在本文中，我们建议利用卷积波束空间（convolutional beamspace，CBS）[14], [15] 的思想来设计用于无源阵列的混合模拟和数字处理器，因此我们将该方法称为 混合 CBS 。CBS 是一种波束空间 DOA 估计方法，

• 它实现了包括降低复杂度、提高 DOA 分辨率和减小偏差等优势，正如经典波束空间方法那样 [10], [11], [16], [17] 。

• 此外，还有一些额外的优势。在 CBS 中，波束空间矩阵是一个带状 Toeplitz 矩阵，因此处理过程等效于将阵列输出与数字滤波器进行卷积 。因此，稳态输出样本中保留了 Vandermonde 结构，使我们可以使用高分辨率子空间方法（如多重信号分类（MUSIC）[18]、root-MUSIC [19] 或通过旋转不变技术估计信号参数（ESPRIT）[20]）来估计 DOA，而无需进一步处理 。

• 此外，滤波后的输出仅由落在通带内的信源表示，因此我们可以在不引起 DOA 模糊的情况下对输出进行抽取（下采样） 。正是这种抽取操作显著降低了复杂度。这就是为什么 CBS 对毫米波阵列具有吸引力的原因 。使用 CBS，即使是大型阵列也只需要少量的 RF 链路 。

本文将解释两种抽取方案：均匀抽取（uniform decimation）和非均匀抽取（nonuniform decimation）。均匀抽取用于传统的 CBS [14]，而非均匀抽取是本文提出的 。

• 对于任意输入 $x(n)$，均匀抽取器 [21, Sec. II] 给出输出 $y(n)=x(Mn)$，其中 $M$ 是称为抽取率的正整数。

• 在新的非均匀方案中，抽取器输出样本 $y(i)$ 对应于标准稀疏（非均匀）阵列的传感器位置 { n ~ i } \{\tilde{n}_{i}\} {n~i​} 被整数因子 $M$ 扩张后的结果，即 $y(i)=x(M{\tilde{n}}_i)$。

我们将使用“虚拟稀疏阵列”一词来指代该阵列，因为它不是物理阵列。这种虚拟稀疏阵列可以基于常用的稀疏阵列，如嵌套阵列 [22]、互质阵列 [23] 和最小冗余阵列（MRA）[24] 35。非均匀抽取的输出被视为虚拟扩张稀疏阵列（virtual dilated sparse
array）对落在 CBS 滤波器通带内的信源的响应。因此，我们可以利用其差分共阵列（difference co-array）[22] 来增加可识别信源的数量。共阵列方法的细节将在第二节 B 部分解释。由于稀疏阵列被 $M$ 扩张，我们在差分共阵列中获得了一个相邻元素间距为 $M$ 的中心稀疏 ULA 频段。尽管存在 $M$-稀疏性，我们证明通过使用通带宽度为 $2\pi /M$ 的 CBS 滤波器，仍然可以在没有模糊的情况下估计 DOA。

如前所述，模拟合并器（analog combiner）通常由具有单位模（unit-modulus）元素的移相器实现。标准的数字滤波器通常不具备恒模系数，因此 CBS 得到的波束空间矩阵无法直接在模拟域中实现。为了解决这一恒模约束问题，我们利用文献 [25] 中的一个重要结论：任何复向量 $\mathbf{v}$ 都可以表示为两个具有单位模元素的向量的线性组合。具体而言，存在复数 $a_1$ 和 $a_2$ 以及复向量 ${\mathbf{v}}_1$ 和 ${\mathbf{v}}_2$，满足对于所有 $i$ 都有 $|[{\mathbf{v}}_1{]}_i|=|[{\mathbf{v}}_2{]}_i|=1$，使得 $\mathbf{v}=a_1{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{v}}_2$。甚至可以令 $a_1=a_2$。这里的关键事实是，仅需两个具有单位模元素的向量就足够了，无需使用更多。

本文的主要贡献包括以下几点：

1. 我们提出了一种新的用于毫米波接收阵列的混合 DOA 估计方法，称为混合卷积波束空间（CBS）。合并器设计为有限脉冲响应（FIR）滤波器后接一个抽取器（下采样器）。这种抽取大大降低了维度，因此即使对于大型阵列，我们也可以用少量 RF 链路处理合并器输出 。

2. 提出了一种基于非均匀抽取和共阵列方法的新 CBS 方案，该方案允许估计比 RF 链路更多的信源（这是经典波束空间 [10] 或均匀混合 CBS 无法实现的）。保留的样本对应于被整数因子 扩张的虚拟稀疏阵列的传感器位置，这导致共阵列孔径比未扩张时大 倍 。阵列孔径是其极端元件之间的差值，较大的孔径通常能提供更好的估计性能 [26], [27] 。给定固定数量的 RF 链路，非均匀方案可以获得比均匀方案更大的阵列孔径，从而获得更好的估计性能 。换个角度看，非均匀方案需要更少的 RF 链路即可达到相同的估计性能 。

3. 我们展示了如何在具有模拟移相器网络的混合架构中实现 CBS 。特别是，尽管存在单位模约束，任何 CBS 滤波器系数集都可以被实现 。此外，所需的 RF 链路数量少至抽取后的 CBS 输出维度（与 [25], [28] 使用两倍数量的 RF 链路相对）。由于这种 CBS 的混合模拟和数字实现不涉及近似，因此 DOA 估计不会产生性能损失 。同样，混合 CBS 继承了传统纯数字 CBS [14] 的所有优点 。

4. 提出了一种基于不同快拍的 CBS 滤波器延迟设计的新信源去相关方法 。由于滤波器是延迟版本，它们具有相同的幅度响应 。该方法可用于均匀 CBS 和非均匀 CBS，但对后者更为关键，因为我们在推导共阵列方法时假设信源不相关 。延迟可以选择为随机或确定性的。我们通常在这两种情况下都能获得相似的估计性能，因此推荐使用确定性延迟，因为它们更容易在模拟处理器中实现 。

5. 我们推导了基于任何无源阵列波束空间处理器输出的 DOA 估计的克拉美-罗界（CRB）[29] 。由于 CBS 是波束空间方法的一个特例，我们可以应用 CRB 结果并通过数值示例与均方误差（MSE）性能进行比较 。不同波束空间方法的 CRB 也可用于比较它们的基本极限 。

6. 我们提出了混合 Capon-CBS 。作为 CBS 的一种变体，Capon-CBS [30] 由两个阶段组成。在第一阶段，我们基于 Capon 波束形成 [31] 的思想设计 CBS 滤波器 。得到的 Capon-CBS 滤波器能更好地抑制阻带信源，因为考虑了输入统计特性 。在第二阶段，我们像传统 CBS 一样简单地实现获得的 Capon-CBS 滤波器 。因此，这里的目的是展示如何在具有 RF 链路约束的混合模拟和数字架构中实现第一阶段（设计阶段）。主要思想是利用非均匀抽取样本并在共阵列域中工作，以获得 Capon-CBS 滤波器系数的表达式 。

综上所述，我们要强调毫米波与本方法的相关性体现在以下几个方面 ：

• 首先，毫米波通常采用大规模阵列 [2]，而大规模阵列允许我们使用足够大的滤波器长度来设计良好的 CBS 滤波器 。
• 其次，毫米波阵列通常需要混合处理以降低硬件复杂度，而混合 CBS 是一种混合方法，可以达到与其全数字对应方法相同的性能 。
• 最后，我们通常在毫米波阵列中使用很少的 RF 链路来降低硬件成本和功耗，而使用非均匀抽取和共阵列方法的混合 CBS 新方案使我们能够识别比 RF 链路数量更多的信源 。
• 毫米波源频率或波长 $\lambda$ 的确切值并不关键，因为我们通常将天线单元间距设计为 $\lambda /2$ [23]，这使得阵列输出与 $\lambda$ 无关。

文献 [6] 中也出现了对卷积输出进行非均匀抽取（nonuniformly decimating）的做法，但其设计目的并非为了滤波，而是为了对信源进行去相关（decorrelating）。如果没有滤波效应，扩张因子 $M$ 就无法应用。因此，我们共阵列（co-array）的有效孔径是文献 [6] 中方法的 $M$ 倍。在采用非均匀抽取的混合 CBS 中，决定性能的是虚拟扩张稀疏阵列（virtual dilated sparse array）的孔径，即采样网格孔径。因此，正如我们在仿真（图 5 和图 6）中将看到的，我们的方法比文献 [6] 等方法具有更高的 DOA 分辨率和更小的估计误差。同时，我们需要指出，有效孔径绝不会超过原始大型物理均匀线阵（ULA）的孔径。

文献 [6] 中的方法是针对二维（2-D）毫米波 MIMO 信道估计的，而本文仅考虑一维 DOA 估计。我们也可以将混合 CBS 扩展到二维情况，具体可见文献 [32]。然而，一维版本（即本文）更为直观，更易于阅读和理解，并且对于仅关注无源感知（即无源 DOA 估计）的读者来说非常重要。这是本文的主要动机之一。此外，贡献列表中的第 5 和第 6 项是新增内容，并未包含在文献 [32] 中。

论文大纲：
无源阵列混合 CBS 的细节在第二节中给出 。介绍了均匀抽取和非均匀抽取的 CBS 。我们在第三节展示了如何在混合模拟和数字架构中实现它们 。第四节介绍了基于 CBS 中滤波器延迟的新信源去相关方法。在第五节，我们推导了基于任何波束空间处理后的无源阵列输出的 DOA 估计的 CRB 。然后，在第六节，我们展示了混合 CBS 的数值示例，并将 MSE 性能与 CRB 进行比较 。随后我们在第七节介绍了无源阵列的混合 Capon-CBS 并展示了一些数值示例 。最后，结论在第八节给出 。第二节和第三节的初步版本已在会议论文 [33] 中报道 。此外，第一作者最近发表的博士论文包含了本文的结果作为博士工作的一部分 [34] 。

II. HYBRID CBS FOR PASSIVE ARRAYS

本节将介绍混合 CBS 的两种方案——均匀抽取和非均匀抽取——的数学模型。它们的混合实现将在第三节中解释。我们考虑一个具有 $N$ 个传感器且传感器间距为 $\lambda /2$ 的无源均匀线性阵列 (ULA)。该阵列接收 $D$ 个波长为 $\lambda$ 的单色平面波（或中心波长为 $\lambda$ 的窄带平面波，参见文献 [16] 中的 (2.47)），其波达方向 (DOA) ${\theta }_i\in [-\pi /2,\pi /2)$ 是相对于阵列法线方向测量的。因此，阵列输出为

$$\mathbf{x}=[x(0)x(1)\cdots x(N-1){]}^T=\mathbf{Ac}+\mathbf{e},\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $\mathbf{c}$ 包含信源幅度 $c_i$，$\mathbf{e}$ 是加性噪声。这里，$\mathbf{A}=[{\mathbf{a}}_N({\omega }_1){\mathbf{a}}_N({\omega }_2)\cdots {\mathbf{a}}_N({\omega }_D)]$ 是阵列流形矩阵，其中

$${\mathbf{a}}_N(\omega )=[1e^{j\omega }{e}^{j2\omega }\cdots e^{j(N-1)\omega }{]}^T\text{\hspace{1em}(2)}$$

且 ${\omega }_i=\pi \sin {\theta }_i$。我们假设 $\text{E}[\mathbf{c}]=0$，$\text{E}[|c_i{|}^2]=p_i$，$\text{E}[\mathbf{e}]=0$，$\text{E}[\mathbf{e}{\mathbf{e}}^H]={\sigma }_e^2\mathbf{I}$，以及 $\text{E}[\mathbf{c}{\mathbf{e}}^H]=0$。

在 CBS [14] 中，ULA 输出 $x(n)$ ($0\le n\le N-1$) 与 FIR 滤波器 $H(z)={\sum }_{n=0}^{L-1}h(n)z^{-n}$ 进行卷积以获得输出 $y(n)$，其中 $L<N$。然后，稳态样本被收集到一个向量中

$$\begin{array}{rl}\mathbf{y}& \triangleq [y(L-1)y(L)\cdots y(N-1){]}^T=\mathbf{Hx}\\ & ={\mathbf{A}}_L\mathbf{d}+\mathbf{He},\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

我们有一个长度为 $N$ 的输入信号 $x$ 和一个长度为 $L$ 的滤波器 $h$。卷积公式为 $y(n)={\sum }_{k=0}^{L-1}h(k)x(n-k)$。

• 瞬态（Transient）阶段 ($n<L-1$)：当 $n$ 从 $0$ 开始增长到 $L-2$ 时，滤波器 $h$ 只有一部分覆盖在信号 $x$ 上，另一部分“伸”到了 $x$ 的左侧（通常假设为 0）。这部分输出包含了“人工填充的零”，并不是纯粹由真实信号产生的。
• 稳态（Steady-state）阶段 ($L-1\le n\le N-1$)：当 $n=L-1$ 时，滤波器需要的输入样本是 $x(L-1),x(L-2),\dots ,x(0)$。这是滤波器第一次完全处于信号 $x$ 的有效范围内。直到 $n=N-1$，滤波器需要的输入是 $x(N-1),\dots ,x(N-L)$，这依然完全在 $x$ 的定义域内。这部分输出被称为“稳态样本”（steady-state samples）1。

其中

$$\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cccccc}h(L-1)& \cdots & h(0)& 0& \cdots & 0\\ 0& h(L-1)& \cdots & h(0)& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & h(L-1)& \cdots & h(0)\end{array}\right]$$

是一个 $(N-L+1)\times N$ 带状 Toeplitz 矩阵，

$${\mathbf{A}}_L=[{\mathbf{a}}_{N-L+1}({\omega }_1)\cdots {\mathbf{a}}_{N-L+1}({\omega }_D)],\text{\hspace{1em}(4)}$$

且 $\mathbf{d}$ 具有如下元素

$$[\mathbf{d}{]}_i=c_i{e}^{j(L-1){\omega }_i}H(e^{j{\omega }_i}).\text{\hspace{1em}(5)}$$

CBS 输出 $\mathbf{y}$ 是用 Vandermonde 矩阵（即 ${\mathbf{A}}_L$）表示的，就像原始阵列输出 $\mathbf{x}$ 一样。因此，我们可以计算 $\mathbf{y}$ 的协方差，并使用如 root-MUSIC [19] 或 ESPRIT [20] 等无网格子空间方法来估计 DOA，而无需对数据进行任何进一步的调整或处理。然而，在实践中我们并不这样做。为了进一步降低计算复杂度，如下文所述，我们在计算协方差之前对 $\mathbf{y}$ 进行抽取。在下文中，我们首先考虑具有均匀抽取的 CBS，这是其原始形式 [14]。然后我们将提出一种用于非均匀抽取的新形式 CBS。

A. CBS WITH UNIFORM DECIMATION

从 (5) 中可以注意到，信源幅度 $c_i$ 被频率响应 $H(e^{j{\omega }_i})$ 滤波了。目前的推导对任何 ULA 都有效，但对于受到越来越多关注的大规模阵列（大 $N$）[2], [3], [6]，我们可以使 $L$ 很大并设计具有良好阻带的锐截止滤波器（a sharp-cutoff filter with good stopband）。我们假设滤波器阻带内的信号被很好地衰减，使得 $\mathbf{y}$ 仅包含带内 DOA，即那些出现在 $H(e^{j\omega })$ 通带内的 DOA。不失一般性，假设 ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_{D_0}$ 是带内 DOA。那么，

$$\mathbf{y}\approx {\mathbf{A}}_{L,0}{\mathbf{d}}_{\text{IB}}+\mathbf{He},\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中 ${\mathbf{A}}_{L,0}$ 包含 ${\mathbf{A}}_L$ 的前 $D_0$ 列，且 ${\mathbf{d}}_{\text{IB}}$ 包含 $\mathbf{d}$ 的前 $D_0$ 个元素。由于这种滤波效应，我们可以对 $\mathbf{y}$ 进行抽取而不引起模糊 [14]。令

$$y_s(n)=y(n+L-1)\text{\hspace{1em}(7)}$$

表示稳态滤波器输出（steady-state filter output），使得

$$\mathbf{y}=[y_s(0)y_s(1)\cdots y_s(N-L){]}^T.\text{\hspace{1em}(8)}$$

那么特别地，如果对于某个整数 $M$，$H(e^{j\omega })$ 具有通带宽度 $2\pi /M$，我们可以按 $M$ 对 $y_s(n)$ 进行均匀抽取并获得 [14]

$$v_l(n)=y_s(Mn+l)\text{\hspace{1em}(9)}$$

其中 $l=0,1,\dots ,M-1$。这些是 $y_s(n)$ 的 $M$ 个多相分量（polyphase components） [35]。为了便于后续表述，我们可以写成等效的向量形式

$${\mathbf{v}}_l={\mathbf{D}}_l\mathbf{y}={\mathbf{A}}_{\text{dec}}{\mathbf{d}}_l+{\mathbf{D}}_l\mathbf{He}\approx {\mathbf{A}}_{\text{dec},0}{\mathbf{d}}_{l,\text{IB}}+{\mathbf{D}}_l\mathbf{He}\text{\hspace{1em}(10)}$$

其中

$${\mathbf{D}}_l=[{\delta }_l^{(N-L+1)}{\delta }_{l+M}^{(N-L+1)}\cdots {\delta }_{l+(\bar{N}-1)M}^{(N-L+1)}{]}^T\text{\hspace{1em}(11)}$$

是一个抽取矩阵，${\mathbf{A}}_{\text{dec}}=[{\mathbf{a}}_{\bar{N}}(M{\omega }_1)\cdots {\mathbf{a}}_{\bar{N}}(M{\omega }_D)]$，

$$\bar{N}=(N-L+1)/M\text{\hspace{1em}(12)}$$

（为简单起见假定为整数），${\mathbf{d}}_l$ 的元素为 $[{\mathbf{d}}_l{]}_i=c_i{e}^{j(L-1+l){\omega }_i}H(e^{j{\omega }_i})$，${\mathbf{A}}_{\text{dec},0}$ 包含 ${\mathbf{A}}_{\text{dec}}$ 的前 $D_0$ 列，且 ${\mathbf{d}}_{l,\text{IB}}$ 包含 ${\mathbf{d}}_l$ 的前 $D_0$ 个元素。根据 (10)，每个 ${\mathbf{v}}_l$ 类似于由 DOA $M{\omega }_i$ 引起的虚拟 $\bar{N}$ 传感器 ULA 的输出。这个 ULA 被称为虚拟的，因为它不是物理阵列。我们将仅基于 ${\mathbf{v}}_l$ 估计 $D_0$ 个通带 DOA。我们假设 $D_0<\bar{N}$ 以便 MUSIC 在没有模糊的情况下识别 DOA [18]。然后我们可以基于协方差来估计 DOA

$${\mathbf{R}}_{{\mathbf{v}}_l}=\text{E}[{\mathbf{v}}_l{\mathbf{v}}_l^H]={\mathbf{A}}_{\text{dec}}{\mathbf{R}}_{{\mathbf{d}}_l}{\mathbf{A}}_{\text{dec}}^H+{\sigma }_e^2{\mathbf{G}}_{\text{dec}}\text{\hspace{1em}(13)}$$

对于特定的 $l$，比如 $l=0$。这里 ${\mathbf{G}}_{\text{dec}}\triangleq {\mathbf{D}}_l\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H{\mathbf{D}}_l$ 独立于 $l$，且 ${\mathbf{R}}_{{\mathbf{d}}_l}=\text{E}[{\mathbf{d}}_l{\mathbf{d}}_l^H]$。可以证明 [14] ${\mathbf{G}}_{\text{dec}}$ 是 Hermitian Toeplitz 矩阵，其元素为 $[{\mathbf{G}}_{\text{dec}}{]}_{m,l}=g(M(m-l))$，其中

$$g(k)=\sum _{n}h(n)h^{\ast }(n-k)\text{\hspace{1em}(14)}$$

是 $h(n)$ 的确定性自相关。如果 CBS 滤波器 $H(z)$ 被选为 Nyquist($M$) 滤波器的谱因子（见 [14]），使得对于所有整数 $k$ 有 $g(Mk)=\delta (k)$ 且因此 ${\mathbf{G}}_{\text{dec}}=\mathbf{I}$，则噪声项可以被白化。当对 RF 链路的数量没有限制或者所有处理都在数字域完成时，我们可以获得所有 ${\mathbf{v}}_l$ 并基于下式估计 DOA

$${\mathbf{R}}_{\text{ave}}=\frac{1}{M}\sum _{l=0}^{M-1}{\mathbf{R}}_{{\mathbf{v}}_l}={\mathbf{A}}_{\text{dec}}{\breve{\mathbf{R}}}_{\mathbf{d}}{\mathbf{A}}_{\text{dec}}^H+{\sigma }_e^2\mathbf{I},\text{\hspace{1em}(15)}$$

其中 ${\breve{\mathbf{R}}}_{\mathbf{d}}$ 是 ${\mathbf{R}}_{{\mathbf{d}}_l}$ 关于 $l$ 的平均值。注意 ${\mathbf{A}}_{\text{dec}}$ 具有列 ${\mathbf{a}}_{\bar{N}}(M{\omega }_i)$，所以最初我们只能识别 $M{\omega }_i\mathrm{mod}2\pi$，从而导致模糊。然而，由于已知 ${\omega }_i$ 位于具有宽度 $2\pi /M$ 的 $H(e^{j\omega })$ 通带内，这些模糊可以被解决。在实践中，我们基于有限快拍平均值来估计 DOA

$${\hat{\mathbf{R}}}_{\text{ave}}=\frac{1}{KM}\sum _{k=1}^K\sum _{l=0}^{M-1}{\mathbf{v}}_l[k]{\mathbf{v}}_l^H[k],\text{\hspace{1em}(16)}$$

其中 $k$ 是快拍索引。然后我们可以使用计算复杂度为 $O({\bar{N}}^3)\ll O(N^3)$ 的 root-MUSIC [19] 或 ESPRIT [20] 来估计 DOA。

正如 [14] 中所解释的，我们可以用整个滤波器组 $H^{(i)}(e^{j\omega }),0\le i\le M-1$ 处理阵列输出 $x(n)$ 以覆盖完整的 DOA 范围 $-\pi \le \omega <\pi$。如果不预先知道 DOA 位于特定扇区，这允许我们估计所有的 DOA。这种滤波器组方法也可用于第二节 B 部分提出的具有非均匀抽取的 CBS。