七种 AI 底层算法的 Java 实现代码，我会为每一种算法提供可直接运行、逻辑完整的 Java 代码，同时附带核心思路注释，方便你理解和调试。

说明

1. 代码均为纯 Java 实现，无第三方依赖，可直接在 Java SE 环境中运行。
2. 聚焦算法核心逻辑，简化了部分数据预处理（如归一化），便于聚焦算法本身。
3. 每种算法包含「核心实现」+「测试用例」，可直接复制运行验证结果。

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1. 线性回归算法（Linear Regression）

核心思路

基于最小二乘法求解解析解，拟合线性关系 y=WTX+b，核心是计算 W=(XTX)−1XTy（为简化，实现单特征线性回归）。避开复杂公式：

1. 核心目标（线性回归）：找一条最贴合所有样本数据的直线（单特征场景），用这条直线就能通过一个自变量（比如房屋面积）预测结果（比如房价）。
2. 最小二乘法的作用：判断直线 “贴合度” 的标准 —— 让所有数据点到这条直线的 “垂直距离平方和” 最小（简单说就是整体误差最小），这就是最小二乘法的核心。
3. 解析解 W=(XTX)−1XTy 的通俗理解：
   • 这是一个 “一步到位” 的计算公式，不用反复迭代试错，直接算出能得到最优直线的参数（包括直线的截距、斜率）。
   • 大白话翻译：把整理好的样本特征数据（X）和真实结果数据（y），代入这个公式做矩阵运算，就能直接得到最优的权重参数（W），有了 W 就确定了那条最贴合的直线。
   • 补充（单特征简化）：这个公式看着复杂，对应到单特征场景，其实就是算出直线的 “斜率” 和 “与 y 轴交点”，和我们初中学的直线方程 y=kx+b 是一回事。

一句话总结

线性回归用最小二乘法定 “最优直线” 的标准，而 W=(XTX)−1XTy 是直接算出这条最优直线参数的 “快捷公式”。

代码解析：线性回归实现

该Java代码实现了一个简单的单变量线性回归模型，使用最小二乘法进行参数估计。以下是关键部分的详细说明：

类结构

定义LinearRegression类，包含两个成员变量：

• w：权重（斜率）
• b：偏置（截距）

训练方法

train()方法通过最小二乘法计算最优参数：

1. 输入验证确保数据有效性

2. 计算以下统计量：

   • 自变量和（sumX）
   • 因变量和（sumY）
   • 自变量与因变量乘积和（sumXY）
   • 自变量平方和（sumX2）

3. 使用最小二乘法公式计算参数：

   • 斜率公式： [ w = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2} ]
   • 截距公式： [ b = \frac{\sum y - w\sum x}{n} ]

预测方法

predict()方法使用训练得到的参数进行预测： [ \hat{y} = w \times x + b ]

测试用例

主方法演示了如何使用：

1. 创建样本数据（房屋面积->房价）
2. 训练模型
3. 输出模型参数
4. 对新面积进行价格预测

输出示例

运行测试代码会输出类似结果：

拟合参数：w=0.3829, b=-2.8571
房屋面积75.0㎡的预测价格：25.86万元

数学公式说明

最小二乘法通过最小化误差平方和来求解最优参数： [ \min \sum_{i=1}^n (y_i - (wx_i + b))^2 ]

该实现直接使用解析解进行计算，适合小规模数据。对于大规模数据，建议使用梯度下降等迭代方法。

逻辑回归算法核心思路与实现详解

1. 逻辑回归算法概述​

1.1 逻辑回归的定义与应用场景​

逻辑回归（Logistic Regression）是一种广泛应用于机器学习和统计分析领域的分类算法，虽然其名称中包含 "回归" 二字，但它实际上是一种用于解决二分类问题的监督学习方法​

。逻辑回归通过将线性回归的输出通过 Sigmoid 函数映射到 (0,1) 区间，从而实现概率预测和分类决策​

。​

在实际应用中，逻辑回归被广泛应用于以下场景：​

金融风控领域：银行和金融机构使用逻辑回归评估客户的信用风险，通过分析客户的收入水平、信用记录、年龄等特征来预测其违约概率​

。逻辑回归在处理大规模稀疏数据时具有较好的性能，适用于信用评分这种涉及大量特征的场景​

。​

医疗诊断领域：逻辑回归在疾病预测和诊断中发挥重要作用。医学研究人员通过分析患者的年龄、性别、血压、胆固醇水平等特征，可以预测患者患心脏病、糖尿病等疾病的概率​

。在乳腺癌诊断中，逻辑回归模型能够根据肿瘤的大小、形状、边界等特征判断其是良性还是恶性​

。​

客户行为分析：在电子商务和市场营销领域，逻辑回归被用于预测客户的购买行为、流失倾向和广告点击率。例如，通过分析用户的浏览历史、购买记录、停留时间等特征，预测用户是否会购买某产品或是否会流失​

。​

欺诈检测：在金融交易中，逻辑回归可以帮助识别潜在的欺诈行为，通过分析交易金额、交易地点、交易时间、用户行为模式等特征来判断交易的真实性​

。​

1.2 逻辑回归与线性回归的关系​

逻辑回归与线性回归在数学形式上有密切的联系，但它们解决的问题类型完全不同。线性回归主要用于预测连续值，而逻辑回归则用于分类问题，尤其是二分类问题​

。​

数学形式对比：​

• 线性回归：​

  y=β0​+β1​x1​+β2​x2​+⋯+βn​xn​+ϵ

  ，其中​

  y

  是连续的因变量​

• 逻辑回归：​

  P(y=1∣x)=1+e−(β0​+β1​x1​+⋯+βn​xn​)1​

  ，其中​

  P(y=1∣x)

  是条件概率​

核心差异：​

1. 输出范围：线性回归的输出是任意实数，而逻辑回归的输出被限制在 (0,1) 区间内，可解释为概率​

1. ​

1. 损失函数：线性回归使用均方误差（MSE）作为损失函数，而逻辑回归使用对数似然损失或交叉熵损失​

1. ​

1. 优化目标：线性回归通过最小二乘法直接求解解析解，而逻辑回归通常使用梯度下降等迭代方法求解​

1. ​

联系与转换：逻辑回归实际上是在线性回归的基础上，通过 Sigmoid 函数进行了非线性变换。这个变换将线性回归的输出转换为概率值，使得模型能够处理分类问题​

。从这个意义上说，逻辑回归可以看作是线性回归在分类问题上的扩展。​

1.3 逻辑回归的数学基础​

逻辑回归的数学基础建立在以下几个关键概念之上：​

伯努利分布假设：逻辑回归假设每个样本的标签服从伯努利分布，即​

Y∼Bernoulli(p)

，其中​

p=σ(θTx)

是样本属于正类的概率。​

对数几率（Logit）变换：逻辑回归假设对数几率与自变量之间存在线性关系，即：​

​

logit(p)=ln(1−pp​)=β0​+β1​x1​+β2​x2​+⋯+βn​xn​

​

这个假设是逻辑回归模型的核心，它将非线性的概率关系转换为线性关系，大大简化了模型的学习和理解​

。​

Sigmoid 函数：Sigmoid 函数是逻辑回归的关键组成部分，其数学表达式为：​

​

σ(z)=1+e−z1​

​

Sigmoid 函数具有以下重要性质：​

• 定义域：​

  (−∞,+∞)

  ​

• 值域：​

  (0,1)

  ，适合表示概率​

• 单调递增，连续可导​

• 关于点​

  (0,0.5)

  中心对称​

• 导数形式简单：​

  σ′(z)=σ(z)(1−σ(z))

  ​

• ​

这些性质使得 Sigmoid 函数非常适合用于将线性组合的结果转换为概率值，并在梯度计算中发挥重要作用。​

2. 逻辑回归核心算法原理​

2.1 线性计算与 Sigmoid 映射机制​

逻辑回归的核心机制是 "线性计算 + Sigmoid 非线性映射"，这一机制使得线性模型能够处理非线性的分类问题。​

线性计算部分：​

逻辑回归首先对输入特征进行线性组合计算：​

​

z=θTx=θ0​x0​+θ1​x1​+θ2​x2​+⋯+θn​xn​

​

其中，​

x0​

通常设为 1，对应偏置项​

θ0​

；​

xi​

（​

i=1,2,...,n

）是输入特征；​

θi​

是对应的权重参数。这个线性计算的结果​

z

可以取任意实数值，范围是​

(−∞,+∞)

。​

Sigmoid 映射部分：​

将线性计算的结果​

z

输入 Sigmoid 函数，得到概率输出：​

​

y^​=σ(z)=1+e−z1​=1+e−(θTx)1​

​

这个映射过程具有以下特点：​

• 当​

  z→+∞

  时，​

  σ(z)→1

  ，表示样本属于正类的概率很高​

• 当​

  z→−∞

  时，​

  σ(z)→0

  ，表示样本属于负类的概率很高​

• 当​

  z=0

  时，​

  σ(z)=0.5

  ，这是分类的决策边界​

概率解释：​

逻辑回归模型的输出​

y^​

可以直接解释为条件概率：​

• ​

  P(y=1∣x)=σ(θTx)

  表示给定特征​

  x

  时，样本属于正类的概率​

• ​

  P(y=0∣x)=1−σ(θTx)

  表示给定特征​

  x

  时，样本属于负类的概率​

这种概率解释使得逻辑回归不仅能够进行分类预测，还能提供预测的置信度信息，这在许多实际应用中非常有价值​

。​

2.2 损失函数与极大似然估计​

逻辑回归使用极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）来确定模型参数，其核心思想是 "让观测到的训练数据出现的概率最大"​

。​

似然函数：​

对于二分类问题，假设样本​

i

的标签为​

yi​∈{0,1}

，则单个样本的概率可以统一表示为：​

​

P(yi​∣xi​;θ)=σ(θTxi​)yi​⋅(1−σ(θTxi​))1−yi​

​

对于​

n

个独立同分布的样本，似然函数为：​

​

L(θ)=i=1∏n​P(yi​∣xi​;θ)=i=1∏n​[σ(θTxi​)yi​⋅(1−σ(θTxi​))1−yi​]