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AlphaProof：Google DeepMind 的 AI 数学证明系统

首个在国际数学奥林匹克竞赛中达到银牌水平的人工智能系统

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引言

2024年，Google DeepMind 推出了一项令人瞩目的成果——AlphaProof，这是一个基于强化学习的形式化数学推理系统。在2024年国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中，AlphaProof 与 AlphaGeometry 2 联手，成功解决了6道题目中的4道，获得了相当于银牌水平的成绩，这是 AI 系统首次在 IMO 中达到奖牌级别的表现。

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什么是 AlphaProof？

AlphaProof 是一个将预训练语言模型与 AlphaZero 强化学习算法相结合的数学证明系统。它在形式化语言 Lean 中进行工作，这使得每一步数学推理都可以被自动验证其正确性。

用一句话概括：AlphaProof = 语言模型 + AlphaZero 风格强化学习 + Lean 形式化环境。

核心特点

特性	说明
100% 准确性	与传统 LLM 不同，AlphaProof 通过 Lean 证明助手验证每一个逻辑步骤
自我学习	通过强化学习不断提升解题能力
形式化证明	输出的证明是机器可验证的，不存在"幻觉"问题

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系统架构

AlphaProof 的架构由三个核心组件构成：

组件详解

1. Formalizer Network（形式化网络）

把自然语言题目（或题目变体）翻译成 Lean 形式化语言。

2. Solver Network（求解网络）

在 Lean 中尝试一串 tactic，把目标一步步推到"证明完成"。使用 Lean 环境搜索证明或反证，结合 AlphaZero 的策略进行智能搜索。

3. Lean Verifier（验证器）

担任"严苛裁判"，每一步都要过类型检查与内核验证，确保证明过程无误。

4. 强化学习循环

把成功的证明路径当作"正反馈"，不断让模型更擅长走向能证明的分支。

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训练过程

AlphaProof 的训练分为三个阶段：

关键创新点

• 自我进化：在强化学习阶段，AlphaProof 能够自己生成问题的变体，并从解决这些变体中学习
• 竞赛期间继续训练：在实际比赛中，系统继续针对竞赛问题的变体进行训练，直到找到完整解答

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理解 AlphaProof 的"速度"

如果把 Lean 的"验证"看成裁判，AlphaProof 的难点不在裁判判得慢，而在于：要在巨大的证明空间里尽快找到一条能被裁判认可的路。

AlphaProof 的"速度"需要从两个时间尺度来理解：

• 验证很快：给定一个 Lean 证明，Lean 可以高效地逐步检查每个 tactic 是否正确。
• 搜索很难：真正花时间的是"找证明"——要在大量候选 proof step（tactic）里做搜索与回溯。

因此，论文/补充材料更喜欢用 TPU 设备时间（compute budget） 来描述推理成本，例如 “2 TPU-min” 或 “50 TPU-days（TTRL）”。这相当于告诉你：为了提升成功率，系统愿意为每道题"烧掉"多少算力。

TPU 预算的计算方式

补充材料明确给出了按题目计的推理预算刻度，分成两类：

• 树搜索（tree search）：用 TPU-minutes / TPU-hours 表示；
• TTRL（Test-Time Reinforcement Learning，推理时强化学习）：用 TPU-days 表示。

一个容易踩的坑：TPU-hours / TPU-days 是"设备时间"。例如：

• 12 TPU-hours 可以是 1 TPU × 12 小时，也可以是 12 TPU × 1 小时；
• 若某题预算为 B TPU-hours，并行使用 N 个 TPU，则墙钟时间约为 B / N 小时；
• 若预算为 D TPU-days，墙钟时间约为 D / N × 24 小时。

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推理预算与成功率

补充材料把 AlphaProof 在两个基准上的"按学科拆分的求解率"列得很清楚，并且给出四档推理预算：

• 树搜索：2 TPU-min、12 TPU-hours
• 加上 TTRL：50 TPU-days、500 TPU-days

formal-imo（按学科）

推理预算（每题）	代数	组合	数论
AlphaProof（树搜索）2 TPU-min	44.8%	11.2%	38.6%
AlphaProof（树搜索）12 TPU-hours	53.1%	13.5%	61.3%
AlphaProof + TTRL 50 TPU-days	67.9%	17.6%	70.3%
AlphaProof + TTRL 500 TPU-days	72.6%	20.3%	75.7%

putnam-test（按学科）

推理预算（每题）	代数	分析	几何	线性代数	数论
AlphaProof（树搜索）2 TPU-min	26.9%	40.1%	4.3%	16.5%	27.2%
AlphaProof（树搜索）12 TPU-hours	41.2%	43.0%	39.5%	16.7%	39.5%
AlphaProof + TTRL 50 TPU-days	48.7%	51.8%	30.0%	27.8%	57.6%
AlphaProof + TTRL 500 TPU-days	61.5%	64.3%	35.0%	38.9%	66.7%

如何理解这些数据

• 同一模型，不同预算：它不是"换了一个更大的模型"，而是"同一个系统在推理阶段投入更多搜索/学习"。
• TTRL 是"单题深挖"：从 minutes/hours 跨到 days，表示系统愿意为"最难题"做更强的、问题相关的适配。
• 收益递减很明显：从 50 TPU-days 到 500 TPU-days 的提升仍在，但边际变小；这正是"速度/成本 vs 成功率"的经典折中。

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为什么最难题需要"天"级算力：TTRL 的直觉

在形式化证明里，困难往往来自：

• 分支因子大：每一步可能有很多 tactic 选择；
• 长程依赖：正确路径可能需要几十到上百步；
• 反馈稀疏：大多数尝试走到中途就卡住，成功信号很少。

TTRL（Test-Time RL）的直觉是：当你遇到一题"怎么都推不动"时，不只是加大搜索深度，而是：

1. 在推理阶段生成大量相关的变体（可以理解为"围绕这题做海量针对性练习"）；
2. 用这些变体上的成功/失败继续更新策略，学到更适合这道题的证明策略；
3. 再回到原题，尝试把学到的策略迁移回来。

这也解释了 Nature 摘要中提到的 “multi-day computation”：要拿到奥赛级别的稳定成功率，可能需要把大量算力集中在少数难题上。

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IMO 2024 表现

成绩总览

AlphaProof 与 AlphaGeometry 2 联合取得 28 分（满分 42 分），达到银牌水平。

问题解决详情

问题	领域	AI系统	结果	备注
P1	代数	AlphaProof	已解决	几分钟内完成
P2	代数	AlphaProof	已解决	-
P3	几何	AlphaGeometry 2	已解决	仅用19秒！
P4	组合	-	未解决	-
P5	组合	-	未解决	-
P6	数论	AlphaProof	已解决	最难题目

亮点：攻克最难题目 P6

P6 被认为是2024年 IMO 中最具挑战性的问题。在609名参赛选手中，只有5人获得了该题的满分。AlphaProof 成功证明了这道题，展现了其在复杂数学推理方面的强大能力。

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技术原理深度解析

AlphaZero 与数学证明的结合

AlphaZero 最初是为棋类游戏设计的，它通过自我对弈和蒙特卡洛树搜索（MCTS） 来学习最优策略。AlphaProof 将这一思想应用到数学证明领域：

棋类游戏	数学证明
棋盘状态	证明状态（goals）
落子	应用 tactic
胜负判定	Lean 验证成功/失败
自我对弈	自我证明练习

为什么使用 Lean？

Lean 是一种形式化证明语言，它的优势在于：

1. 机器可验证：每一步推理都可以自动检查
2. 无歧义性：避免自然语言的模糊性
3. 完整性：证明要么完全正确，要么无法通过验证

这与传统 LLM 的"概率性"输出形成鲜明对比——AlphaProof 的答案要么 100% 正确，要么根本不给出答案。

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与人类选手的对比

在 IMO 2024 中，共有 609 名来自世界各地的顶尖数学选手参赛：

奖牌等级	分数线	人数	占比
金牌	29+ 分	58 人	9.5%
AlphaProof	28 分	银牌水平	-
银牌	22-28 分	~100 人	16%
铜牌	16-21 分	~150 人	25%
无奖牌	<16 分	~300 人	49%

AlphaProof 仅差 1 分就能达到金牌水平，其表现已超越了约 90% 的人类参赛选手。

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意义与展望

突破性意义

1. 首个奖牌级 AI：这是人工智能首次在 IMO 这样的顶级数学竞赛中达到奖牌水平

2. 超越"猜测"：与常见的 LLM 不同，AlphaProof 不会"胡说八道"，它的每一个证明都经过严格验证

3. 自主发现能力：系统能够发现人类未曾想到的证明路径

后续发展

2025年，DeepMind 进一步推出了配备 Deep Think 的高级版 Gemini，该系统：

• 解决了6道 IMO 问题中的5道
• 获得了35分（满分42分）
• 达到了金牌水平
• 完全在4.5小时的比赛时限内完成

对实际应用的启示

如果你的目标是"让 AI 在写 Lean 时给提示"：

• 更关心的是 TPU-min / TPU-hours 档位：在合理预算里，快速给出可验证的下一步或局部 lemma；
• "多日算力"更像是 离线攻坚模式：适合证明难题、整理长期项目、或者冲极限 benchmark。

如果你的目标是"看懂 AlphaProof 的工程折中"：

• 这篇工作的关键不只是模型更大，而是把 搜索（tree search）+ 学习（RL） 做成一个能规模化自我提升的闭环；
• "速度"在这里本质上是：你愿意为每道题付出多少 compute budget，以及能不能并行化这份预算。

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总结

AlphaProof 代表了 AI 在数学推理领域的一个重要里程碑：

维度	传统 LLM	AlphaProof
准确性	概率性，可能出错	100% 可验证
推理能力	模式匹配为主	真正的逻辑推理
可信度	需要人工验证	机器自动验证
复杂问题	容易"幻觉"	严格形式化

虽然 AlphaProof 在解题时间上还无法与人类竞赛选手相比（有些问题需要数天算力才能解决），但它展示了一条通往可靠 AI 数学推理的清晰路径。

随着 2025 年 Gemini Deep Think 取得金牌级成绩，我们可以期待 AI 在数学领域继续取得更大的突破。

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参考资料

• AI achieves silver-medal standard solving International Mathematical Olympiad problems - Google DeepMind
• Olympiad-level formal mathematical reasoning with reinforcement learning | Nature
• Advanced version of Gemini with Deep Think officially achieves gold-medal standard at the International Mathematical Olympiad
• Nature 补充材料（含详细数据表）
• Lean：形式化语言与证明助手