提示：文章写完后，目录可以自动生成，如何生成可参考右边的帮助文档

取模（Modulo，又称模运算）和取余（Remainder，又称余数运算）是在正数场景下结果完全一致、负数场景下结果可能不同的运算，二者的核心差异源于商的取整规则。下面从相同点、不同点和编程语言实现三个维度总结：

一、相同点

1. 正数场景结果一致
   当被除数和除数均为正整数时，取模和取余的计算结果完全相同。
2. 核心数学关系一致
   对于整数 a（被除数）和 b（除数，b≠0），二者都满足除法基本等式：
   $$a=b\times q+r$$
   其中：
   • q 是商（取整后的整数）；
   • r 是结果（取余/取模的结果）；
   • 结果的绝对值满足：$0\le |r|<|b|$（即结果的绝对值一定小于除数的绝对值）。
3. 本质都是“剩余部分”
   二者都是对两个数做除法运算后，得到的“除不尽的剩余部分”，只是因商的取整规则不同，导致负数场景下结果有差异。

二、不同点（核心根源：商的取整规则）

这是取模和取余的唯一本质区别，也是负数场景结果不同的原因：

举例子直观对比（关键看负数场景）

我们通过不同的a和b组合，看取余和取模的结果差异：

例子1：a=7，b=3（均为正数）

• 商的原始值：$7/3\approx 2.333$
• 取余：商向零取整为2，结果 $r=7-3\times 2=1$
• 取模：商向负无穷取整为2，结果 $r=7-3\times 2=1$
• 结果一致：1

例子2：a=-7，b=3（被除数负，除数正）

• 商的原始值：$-7/3\approx -2.333$
• 取余：商向零取整为-2，结果 $r=-7-3\times (-2)=-1$（符号与被除数-7一致）
• 取模：商向负无穷取整为-3，结果 $r=-7-3\times (-3)=2$（符号与除数3一致）
• 结果不同：取余是-1，取模是2

例子3：a=7，b=-3（被除数正，除数负）

• 商的原始值：$7/-3\approx -2.333$
• 取余：商向零取整为-2，结果 $r=7-(-3)\times (-2)=1$（符号与被除数7一致）
• 取模：商向负无穷取整为-3，结果 $r=7-(-3)\times (-3)=-2$（符号与除数-3一致）
• 结果不同：取余是1，取模是-2

例子4：a=-7，b=-3（均为负数）

• 商的原始值：$-7/-3\approx 2.333$
• 取余：商向零取整为2，结果 $r=-7-(-3)\times 2=-1$（符号与被除数-7一致）
• 取模：商向负无穷取整为2，结果 $r=-7-(-3)\times 2=-1$（符号与除数-3不一致？这里是因为商的取整结果相同，所以结果一致）
• 结果一致：-1

三、编程语言中的%运算符：是取余还是取模？

不同编程语言对%运算符的实现有明确区分，这是容易混淆的点：

1. 取余实现（商向零取整）：C/C++、Java、C#、Go等

   • 结果符号与被除数一致；
   • 示例（Java）：

     System.out.println(-7 % 3);  // 输出-1（取余，与被除数-7同符号）
     System.out.println(7 % -3);  // 输出1（取余，与被除数7同符号）
     

2. 取模实现（商向负无穷取整）：Python、Ruby、MATLAB等

   • 结果符号与除数一致；
   • 示例（Python）：

     print(-7 % 3)  # 输出2（取模，与除数3同符号）
     print(7 % -3)  # 输出-2（取模，与除数-3同符号）
     

3. 补充：如果需要在取余语言中实现取模，或在取模语言中实现取余，可通过手动调整商的取整规则实现（比如对结果补除数的绝对值）。

总结

1. 核心共性：正数场景下，取模和取余结果完全相同；都满足除法基本等式，结果绝对值小于除数绝对值。
2. 核心差异：负数场景下，因商的取整规则不同（取余向零取整，取模向负无穷取整），导致结果的符号/数值可能不同（取余结果与被除数同符号，取模结果与除数同符号）。
3. 工程注意：编程语言的%运算符不一定是“取模”，需根据语言特性判断（编译型语言多为取余，脚本语言多为取模），尤其处理负数时要注意。