利用粒子群PSO优化KELM，数据是多维输入单维输出的，直接替换我的测试数据就可以用，并且可以和没有优化过的KELM做对比分析

在机器学习的世界里，如何提升模型的性能一直是大家关注的重点。今天咱们就来聊聊利用粒子群算法（PSO）优化极限学习机（KELM），而且针对多维输入单维输出的数据情况，还能和未优化的KELM做个对比分析，让大家看看优化前后的差异。

一、极限学习机（KELM）简介

KELM是一种单隐层前馈神经网络，它的训练速度很快。简单来说，对于一个具有$N$个样本的训练集 $\{(xi,ti)\}{i = 1}^N$，$xi\in R^n$ 是输入向量，$t_i\in R$ 是对应的输出值（这就是我们说的多维输入单维输出）。KELM的模型可以表示为：

\[ \sum{i = 1}^L \betai g(ai,xi + bi) = oj, j = 1,\cdots,N \]

其中 $L$ 是隐含层节点数，$g(\cdot)$ 是激活函数，$ai$ 是输入权值，$bi$ 是隐含层偏置，$\beta_i$ 是输出权值。

在代码实现上，假设我们使用Python和numpy库，简单的KELM初始化代码可以像这样：

import numpy as np


class KELM:
    def __init__(self, input_size, hidden_size):
        self.input_size = input_size
        self.hidden_size = hidden_size
        self.a = np.random.rand(self.hidden_size, self.input_size)
        self.b = np.random.rand(self.hidden_size, 1)
        self.beta = None


    def activation(self, x):
        return 1 / (1 + np.exp(-x))


    def hidden_layer_output(self, X):
        G = np.dot(self.a, X.T) + self.b
        return self.activation(G)


    def train(self, X, T):
        H = self.hidden_layer_output(X)
        self.beta = np.dot(np.linalg.pinv(H.T), T)


    def predict(self, X):
        H = self.hidden_layer_output(X)
        return np.dot(H.T, self.beta)

这里init方法初始化了输入层到隐含层的权重a和隐含层偏置b。activation方法定义了激活函数，这里用的是Sigmoid函数。hiddenlayeroutput计算隐含层的输出，train方法通过计算隐含层输出矩阵的伪逆来得到输出权重beta，predict方法则利用训练得到的参数进行预测。

二、粒子群算法（PSO）

粒子群算法模拟鸟群觅食行为，每个粒子代表一个潜在解，在解空间中飞行寻找最优解。每个粒子有自己的速度和位置，通过跟踪自己的历史最优位置（pbest）和群体的历史最优位置（gbest）来更新自己的位置和速度。

速度更新公式：

\[ v{i,d}^{k + 1}=\omega v{i,d}^k + c1r{1,d}^k(p{i,d}^k - x{i,d}^k)+c2r{2,d}^k(p{g,d}^k - x{i,d}^k) \]

位置更新公式：

\[ x{i,d}^{k + 1}=x{i,d}^k + v_{i,d}^{k + 1} \]

其中，$v{i,d}^k$ 是粒子 $i$ 在第 $k$ 次迭代中第 $d$ 维的速度，$x{i,d}^k$ 是粒子 $i$ 在第 $k$ 次迭代中第 $d$ 维的位置，$\omega$ 是惯性权重，$c1$ 和 $c2$ 是学习因子，$r{1,d}^k$ 和 $r{2,d}^k$ 是介于 $0$ 和 $1$ 之间的随机数，$p{i,d}^k$ 是粒子 $i$ 的历史最优位置，$p{g,d}^k$ 是群体的历史最优位置。

下面是简单的PSO代码框架：

class PSO:
    def __init__(self, dim, pop_size, max_iter, lb, ub):
        self.dim = dim
        self.pop_size = pop_size
        self.max_iter = max_iter
        self.lb = lb
        self.ub = ub
        self.particles = np.random.uniform(self.lb, self.ub, (self.pop_size, self.dim))
        self.velocities = np.zeros((self.pop_size, self.dim))
        self.pbest = self.particles.copy()
        self.pbest_fitness = np.full(self.pop_size, np.inf)
        self.gbest = None
        self.gbest_fitness = np.inf


    def update_velocity(self, fitness_func):
        omega = 0.7298
        c1 = 1.49618
        c2 = 1.49618
        r1 = np.random.rand(self.pop_size, self.dim)
        r2 = np.random.rand(self.pop_size, self.dim)
        self.velocities = omega * self.velocities + c1 * r1 * (self.pbest - self.particles) + c2 * r2 * (
                    self.gbest - self.particles)


    def update_position(self):
        self.particles = self.particles + self.velocities
        self.particles = np.clip(self.particles, self.lb, self.ub)


    def optimize(self, fitness_func):
        for i in range(self.max_iter):
            fitness_values = fitness_func(self.particles)
            improved_indices = fitness_values < self.pbest_fitness
            self.pbest[improved_indices] = self.particles[improved_indices]
            self.pbest_fitness[improved_indices] = fitness_values[improved_indices]
            best_index = np.argmin(self.pbest_fitness)
            if self.pbest_fitness[best_index] < self.gbest_fitness:
                self.gbest = self.pbest[best_index]
                self.gbest_fitness = self.pbest_fitness[best_index]
            self.update_velocity(fitness_func)
            self.update_position()
        return self.gbest

这里init方法初始化了粒子的位置、速度、个体最优位置等。updatevelocity和updateposition方法分别根据公式更新速度和位置，optimize方法在迭代过程中寻找最优解。

三、PSO优化KELM

我们要用PSO来优化KELM的输入权值a和隐含层偏置b。这里我们把a和b展开成一维向量作为PSO粒子的位置。

def fitness(p, input_size, hidden_size, X, T):
    a = p[:hidden_size * input_size].reshape((hidden_size, input_size))
    b = p[hidden_size * input_size:].reshape((hidden_size, 1))
    model = KELM(input_size, hidden_size)
    model.a = a
    model.b = b
    model.train(X, T)
    pred = model.predict(X)
    mse = np.mean((pred - T) ** 2)
    return mse


def pso_optimized_kelm(X, T, input_size, hidden_size, pop_size, max_iter, lb, ub):
    dim = hidden_size * input_size + hidden_size
    pso = PSO(dim, pop_size, max_iter, lb, ub)
    best_params = pso.optimize(lambda p: fitness(p, input_size, hidden_size, X, T))
    a = best_params[:hidden_size * input_size].reshape((hidden_size, input_size))
    b = best_params[hidden_size * input_size:].reshape((hidden_size, 1))
    optimized_model = KELM(input_size, hidden_size)
    optimized_model.a = a
    optimized_model.b = b
    optimized_model.train(X, T)
    return optimized_model

fitness函数计算给定参数下KELM的均方误差（MSE），作为PSO的适应度值。psooptimizedkelm函数则利用PSO找到最优的参数，并返回优化后的KELM模型。

四、对比分析

假设我们有一些多维输入单维输出的测试数据，下面进行未优化KELM和PSO优化KELM的对比。

# 生成一些模拟的多维输入单维输出数据
np.random.seed(0)
input_size = 5
hidden_size = 10
X = np.random.rand(100, input_size)
T = np.random.rand(100, 1)

# 未优化的KELM
model = KELM(input_size, hidden_size)
model.train(X, T)
pred_unoptimized = model.predict(X)
mse_unoptimized = np.mean((pred_unoptimized - T) ** 2)

# PSO优化的KELM
pop_size = 20
max_iter = 50
lb = -1
ub = 1
optimized_model = pso_optimized_kelm(X, T, input_size, hidden_size, pop_size, max_iter, lb, ub)
pred_optimized = optimized_model.predict(X)
mse_optimized = np.mean((pred_optimized - T) ** 2)

print(f"未优化KELM的均方误差: {mse_unoptimized}")
print(f"PSO优化KELM的均方误差: {mse_optimized}")

从结果中可以看到，通常情况下，经过PSO优化后的KELM会有更低的均方误差，说明PSO优化能够提升KELM在多维输入单维输出数据上的性能表现。这是因为PSO帮助KELM找到了更合适的输入权值和隐含层偏置，使得模型能够更好地拟合数据。

总的来说，利用PSO优化KELM为我们处理多维输入单维输出数据提供了一种有效的方法，在实际应用中可以根据具体需求进一步调整参数，以达到更好的效果。希望这篇博文能让大家对PSO优化KELM有更深入的了解，快去试试吧！