AI模型在处理噪声数据时的鲁棒性研究

关键词：AI模型、噪声数据、鲁棒性、数据处理、深度学习、机器学习

摘要：本文围绕AI模型在处理噪声数据时的鲁棒性展开深入研究。首先介绍了研究的背景、目的、预期读者和文档结构，阐述了相关术语。接着详细解释了核心概念及其联系，通过文本示意图和Mermaid流程图进行直观展示。深入探讨了核心算法原理，并使用Python代码进行详细说明，同时给出了相关的数学模型和公式，辅以具体例子。通过项目实战，从开发环境搭建、源代码实现到代码解读进行了全面剖析。列举了AI模型处理噪声数据在不同领域的实际应用场景，推荐了学习资源、开发工具框架和相关论文著作。最后总结了未来发展趋势与挑战，提供了常见问题解答和扩展阅读参考资料，旨在为提升AI模型处理噪声数据的鲁棒性提供全面且深入的指导。

1. 背景介绍

1.1 目的和范围

在现实世界的数据采集过程中，噪声是不可避免的。噪声数据可能由传感器误差、数据传输干扰、人为错误等多种因素引入。AI模型在处理这些包含噪声的数据时，其性能往往会受到显著影响。本研究的目的在于深入探讨AI模型在处理噪声数据时的鲁棒性，即模型在存在噪声的情况下仍能保持稳定和准确的性能。

研究范围涵盖了常见的AI模型，如神经网络（包括卷积神经网络CNN、循环神经网络RNN等）、决策树、支持向量机等，以及不同类型的噪声，如高斯噪声、椒盐噪声等。我们将分析噪声对模型性能的影响机制，研究提高模型鲁棒性的方法和策略。

1.2 预期读者

本文预期读者包括AI研究人员、数据科学家、机器学习工程师、相关专业的学生等。对于希望深入了解AI模型在噪声环境下性能表现以及如何提升模型鲁棒性的人员，本文将提供有价值的参考。

1.3 文档结构概述

本文将按照以下结构展开：首先介绍核心概念与联系，通过示意图和流程图直观呈现相关原理；接着阐述核心算法原理，并给出Python代码实现；然后介绍数学模型和公式，辅以具体例子进行说明；通过项目实战详细展示如何在实际中处理噪声数据；列举实际应用场景；推荐学习资源、开发工具框架和相关论文著作；最后总结未来发展趋势与挑战，提供常见问题解答和扩展阅读参考资料。

1.4 术语表

1.4.1 核心术语定义

• AI模型：人工智能模型是一种基于数据和算法构建的系统，用于解决各种复杂的问题，如分类、回归、预测等。常见的AI模型包括神经网络、决策树、支持向量机等。
• 噪声数据：噪声数据是指在数据采集、传输或处理过程中引入的干扰信息，导致数据偏离其真实值。噪声可以是随机的，也可以是有规律的。
• 鲁棒性：鲁棒性是指系统在存在不确定性或干扰的情况下仍能保持稳定和准确的性能。在AI领域，鲁棒性表现为模型在处理噪声数据时仍能做出正确的预测。

1.4.2 相关概念解释

• 数据清洗：数据清洗是指对原始数据进行预处理，去除噪声、缺失值和异常值等，以提高数据质量。
• 正则化：正则化是一种用于防止模型过拟合的技术，通过在损失函数中添加惩罚项，限制模型的复杂度。
• 对抗训练：对抗训练是一种通过引入对抗样本训练模型，提高模型鲁棒性的方法。对抗样本是指在原始数据上添加微小扰动后得到的样本，能够使模型产生错误的预测。

1.4.3 缩略词列表

• CNN：Convolutional Neural Network，卷积神经网络
• RNN：Recurrent Neural Network，循环神经网络
• SVM：Support Vector Machine，支持向量机

2. 核心概念与联系

核心概念原理

在AI模型处理噪声数据的过程中，涉及到多个核心概念，包括噪声的产生机制、模型的学习过程以及鲁棒性的评估方法。

噪声的产生机制多种多样，例如传感器在测量物理量时可能会受到环境因素的干扰，导致测量值存在误差；数据在传输过程中可能会受到电磁干扰，引入随机噪声。这些噪声会使数据的分布发生变化，从而影响模型的学习效果。

模型的学习过程通常是通过最小化损失函数来实现的。损失函数衡量了模型预测结果与真实标签之间的差异。在存在噪声数据的情况下，损失函数可能会受到噪声的影响，导致模型学习到错误的特征，从而降低模型的性能。

鲁棒性的评估方法主要包括准确率、召回率、F1值等指标。这些指标可以衡量模型在处理噪声数据时的性能表现。此外，还可以通过引入对抗样本进行测试，评估模型对恶意扰动的抵抗能力。

文本示意图

           噪声数据产生
              |
              v
        数据预处理（清洗、增强等）
              |
              v
        AI模型学习（最小化损失函数）
              |
              v
  模型性能评估（准确率、召回率等）
              |
              v
      鲁棒性提升策略（正则化、对抗训练等）

Mermaid流程图

3. 核心算法原理 & 具体操作步骤

核心算法原理

以神经网络为例，其核心算法是通过前向传播和反向传播来更新模型的参数。前向传播是指将输入数据通过神经网络的各层进行计算，得到输出结果；反向传播是指根据输出结果与真实标签之间的差异，计算梯度并更新模型的参数。

在处理噪声数据时，为了提高模型的鲁棒性，可以采用正则化方法。正则化通过在损失函数中添加惩罚项，限制模型的复杂度，从而减少模型对噪声数据的过拟合。常见的正则化方法包括L1正则化和L2正则化。

L1正则化的损失函数公式为：
$$L_{L1}=L+\lambda \sum _{i=1}^n|w_i|$$
其中，$L$ 是原始的损失函数，$\lambda$ 是正则化系数，$w_i$ 是模型的参数。

L2正则化的损失函数公式为：
$$L_{L2}=L+\lambda \sum _{i=1}^n{w}_i^2$$

具体操作步骤

以下是一个使用Python和PyTorch实现的简单神经网络处理噪声数据的示例代码：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import numpy as np

# 生成带有噪声的数据
def generate_noisy_data(n_samples):
    x = np.linspace(0, 1, n_samples)
    y = np.sin(2 * np.pi * x) + np.random.normal(0, 0.1, n_samples)
    x = torch.tensor(x, dtype=torch.float32).view(-1, 1)
    y = torch.tensor(y, dtype=torch.float32).view(-1, 1)
    return x, y

# 定义神经网络模型
class SimpleNet(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(SimpleNet, self).__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(1, 10)
        self.relu = nn.ReLU()
        self.fc2 = nn.Linear(10, 1)

    def forward(self, x):
        out = self.fc1(x)
        out = self.relu(out)
        out = self.fc2(out)
        return out

# 训练模型
def train_model(model, x, y, epochs, lr, reg_type=None, reg_lambda=0.01):
    criterion = nn.MSELoss()
    optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=lr)

    for epoch in range(epochs):
        optimizer.zero_grad()
        outputs = model(x)
        loss = criterion(outputs, y)

        if reg_type == 'L1':
            l1_reg = torch.tensor(0., requires_grad=True)
            for name, param in model.named_parameters():
                if 'weight' in name:
                    l1_reg = l1_reg + torch.norm(param, 1)
            loss = loss + reg_lambda * l1_reg
        elif reg_type == 'L2':
            l2_reg = torch.tensor(0., requires_grad=True)
            for name, param in model.named_parameters():
                if 'weight' in name:
                    l2_reg = l2_reg + torch.norm(param, 2)
            loss = loss + reg_lambda * l2_reg

        loss.backward()
        optimizer.step()

        if (epoch + 1) % 100 == 0:
            print(f'Epoch [{epoch + 1}/{epochs}], Loss: {loss.item():.4f}')

    return model

# 主函数
if __name__ == "__main__":
    n_samples = 100
    x, y = generate_noisy_data(n_samples)
    model = SimpleNet()
    epochs = 1000
    lr = 0.01
    reg_type = 'L2'
    reg_lambda = 0.01
    trained_model = train_model(model, x, y, epochs, lr, reg_type, reg_lambda)

代码解释

1. 数据生成：generate_noisy_data 函数生成带有高斯噪声的正弦波数据。
2. 模型定义：SimpleNet 类定义了一个简单的两层神经网络。
3. 训练过程：train_model 函数实现了模型的训练过程，根据指定的正则化类型和系数添加正则化项。
4. 主函数：调用上述函数生成数据、定义模型并进行训练。

4. 数学模型和公式 & 详细讲解 & 举例说明

数学模型和公式

在机器学习中，常见的损失函数用于衡量模型预测结果与真实标签之间的差异。以均方误差（MSE）损失函数为例，其公式为：
$$MSE=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$$
其中，$n$ 是样本数量，$y_i$ 是真实标签，${\hat{y}}_i$ 是模型的预测结果。

在正则化中，L1正则化和L2正则化的公式前面已经介绍过。正则化的目的是通过限制模型的复杂度，减少模型对噪声数据的过拟合。

详细讲解

均方误差损失函数衡量了预测值与真实值之间的平均平方误差。在优化过程中，模型的目标是最小化这个损失函数。

L1正则化通过添加参数的绝对值之和作为惩罚项，使得模型的部分参数变为零，从而实现特征选择的效果。L2正则化通过添加参数的平方和作为惩罚项，使得模型的参数值变小，避免模型过于复杂。

举例说明

假设我们有一个简单的线性回归模型 $y=wx+b$，其中 $w$ 和 $b$ 是模型的参数。我们有三个样本 $(x_1,y_1)=(1,2)$，$(x_2,y_2)=(2,4)$，$(x_3,y_3)=(3,6)$，模型的预测结果为 ${\hat{y}}_1=w\times 1+b$，${\hat{y}}_2=w\times 2+b$，${\hat{y}}_3=w\times 3+b$。

均方误差损失函数为：
$$MSE=\frac{1}{3}[(2-(w+b){)}^2+(4-(2w+b){)}^2+(6-(3w+b){)}^2]$$

如果使用L2正则化，正则化后的损失函数为：
$$L_{L2}=MSE+\lambda (w^2+b^2)$$

在训练过程中，模型会通过梯度下降等优化算法来最小化这个正则化后的损失函数，从而更新参数 $w$ 和 $b$。

5. 项目实战：代码实际案例和详细解释说明

5.1 开发环境搭建

• 操作系统：可以选择Windows、Linux或macOS。
• Python环境：建议使用Python 3.7及以上版本。可以通过Anaconda或Python官方网站进行安装。
• 深度学习框架：使用PyTorch，可通过以下命令安装：

pip install torch torchvision

5.2 源代码详细实现和代码解读

以下是一个更完整的项目实战代码，用于处理MNIST手写数字数据集，并添加噪声来测试模型的鲁棒性。

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
from torchvision import datasets, transforms
import matplotlib.pyplot as plt

# 数据加载和预处理
transform = transforms.Compose([
    transforms.ToTensor(),
    transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))
])

train_dataset = datasets.MNIST(root='./data', train=True,
                               download=True, transform=transform)
test_dataset = datasets.MNIST(root='./data', train=False,
                              download=True, transform=transform)

train_loader = torch.utils.data.DataLoader(train_dataset, batch_size=64, shuffle=True)
test_loader = torch.utils.data.DataLoader(test_dataset, batch_size=1000, shuffle=False)

# 定义神经网络模型
class Net(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(Net, self).__init__()
        self.conv1 = nn.Conv2d(1, 10, kernel_size=5)
        self.conv2 = nn.Conv2d(10, 20, kernel_size=5)
        self.conv2_drop = nn.Dropout2d()
        self.fc1 = nn.Linear(320, 50)
        self.fc2 = nn.Linear(50, 10)

    def forward(self, x):
        x = nn.functional.relu(nn.functional.max_pool2d(self.conv1(x), 2))
        x = nn.functional.relu(nn.functional.max_pool2d(self.conv2_drop(self.conv2(x)), 2))
        x = x.view(-1, 320)
        x = nn.functional.relu(self.fc1(x))
        x = nn.functional.dropout(x, training=self.training)
        x = self.fc2(x)
        return nn.functional.log_softmax(x, dim=1)

# 训练模型
def train(model, train_loader, optimizer, epoch):
    model.train()
    for batch_idx, (data, target) in enumerate(train_loader):
        optimizer.zero_grad()
        output = model(data)
        loss = nn.functional.nll_loss(output, target)
        loss.backward()
        optimizer.step()
        if batch_idx % 100 == 0:
            print(f'Train Epoch: {epoch} [{batch_idx * len(data)}/{len(train_loader.dataset)} '
                  f'({100. * batch_idx / len(train_loader):.0f}%)]\tLoss: {loss.item():.6f}')

# 测试模型
def test(model, test_loader):
    model.eval()
    test_loss = 0
    correct = 0
    with torch.no_grad():
        for data, target in test_loader:
            output = model(data)
            test_loss += nn.functional.nll_loss(output, target, reduction='sum').item()
            pred = output.argmax(dim=1, keepdim=True)
            correct += pred.eq(target.view_as(pred)).sum().item()

    test_loss /= len(test_loader.dataset)
    print(f'\nTest set: Average loss: {test_loss:.4f}, Accuracy: {correct}/{len(test_loader.dataset)} '
          f'({100. * correct / len(test_loader.dataset):.0f}%)\n')

# 添加噪声
def add_noise(data, noise_type='gaussian', noise_level=0.1):
    if noise_type == 'gaussian':
        noise = torch.randn_like(data) * noise_level
        noisy_data = data + noise
        noisy_data = torch.clamp(noisy_data, 0, 1)
    elif noise_type == 'salt_and_pepper':
        mask = torch.rand_like(data) < noise_level
        noisy_data = data.clone()
        noisy_data[mask] = torch.randint(0, 2, noisy_data[mask].shape).float()
    return noisy_data

# 主函数
if __name__ == "__main__":
    model = Net()
    optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)

    # 训练模型
    for epoch in range(1, 5):
        train(model, train_loader, optimizer, epoch)
        test(model, test_loader)

    # 测试添加噪声后模型的性能
    noisy_test_loader = torch.utils.data.DataLoader(test_dataset, batch_size=1000, shuffle=False)
    for data, target in noisy_test_loader:
        noisy_data = add_noise(data, noise_type='gaussian', noise_level=0.1)
        output = model(noisy_data)
        pred = output.argmax(dim=1, keepdim=True)
        correct = pred.eq(target.view_as(pred)).sum().item()
        print(f'Noisy test set: Accuracy: {correct}/{len(target)} '
              f'({100. * correct / len(target):.0f}%)')

    # 可视化噪声数据
    sample_data = data[0].squeeze().numpy()
    noisy_sample_data = noisy_data[0].squeeze().numpy()

    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.imshow(sample_data, cmap='gray')
    plt.title('Original Image')
    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.imshow(noisy_sample_data, cmap='gray')
    plt.title('Noisy Image')
    plt.show()

5.3 代码解读与分析

1. 数据加载和预处理：使用 torchvision 库加载MNIST数据集，并进行归一化处理。
2. 模型定义：定义了一个简单的卷积神经网络 Net，包含两个卷积层和两个全连接层。
3. 训练和测试函数：train 函数用于训练模型，test 函数用于测试模型的性能。
4. 添加噪声函数：add_noise 函数可以添加高斯噪声或椒盐噪声。
5. 主函数：首先训练模型，然后测试添加噪声后模型的性能，并可视化原始图像和噪声图像。

通过这个项目实战，我们可以直观地看到噪声对模型性能的影响，以及如何通过训练提高模型的鲁棒性。

6. 实际应用场景

图像识别

在图像识别领域，图像数据可能会受到各种噪声的干扰，如传感器噪声、压缩噪声等。例如，在安防监控系统中，摄像头采集的图像可能会因为光线不足、镜头模糊等原因引入噪声。具有鲁棒性的AI模型能够在这些噪声环境下准确识别目标物体，提高监控系统的可靠性。

语音识别

语音识别系统在实际应用中也会面临噪声的挑战，如背景噪音、麦克风噪声等。鲁棒的语音识别模型能够在嘈杂的环境中准确识别语音指令，为用户提供更好的交互体验。例如，智能车载系统中的语音控制功能，需要在车辆行驶过程中的嘈杂环境下准确识别用户的语音指令。

金融预测

在金融领域，数据的噪声可能来自市场的不确定性、数据录入错误等。鲁棒的AI模型能够在这些噪声数据的基础上进行准确的预测，为投资者提供可靠的决策依据。例如，股票价格预测模型需要考虑到市场的波动和噪声，以提高预测的准确性。

医疗诊断

医疗数据如X光、CT图像等可能会受到设备噪声、患者运动等因素的影响。鲁棒的AI模型能够在这些噪声数据的基础上进行准确的诊断，帮助医生更好地判断病情。例如，基于深度学习的医学图像诊断模型可以在有噪声的图像中准确识别病变区域。

7. 工具和资源推荐

7.1 学习资源推荐

7.1.1 书籍推荐

• 《深度学习》（Deep Learning）：由Ian Goodfellow、Yoshua Bengio和Aaron Courville撰写，是深度学习领域的经典教材，涵盖了深度学习的基本概念、算法和应用。
• 《Python机器学习》（Python Machine Learning）：由Sebastian Raschka和Vahid Mirjalili撰写，介绍了使用Python进行机器学习的方法和技术，包括数据预处理、模型选择和评估等。
• 《模式识别与机器学习》（Pattern Recognition and Machine Learning）：由Christopher M. Bishop撰写，是模式识别和机器学习领域的经典著作，详细介绍了各种机器学习算法的原理和应用。

7.1.2 在线课程

• Coursera上的“深度学习专项课程”（Deep Learning Specialization）：由Andrew Ng教授授课，包括深度学习基础、卷积神经网络、循环神经网络等多个课程。
• edX上的“人工智能导论”（Introduction to Artificial Intelligence）：由麻省理工学院（MIT）提供，介绍了人工智能的基本概念、算法和应用。
• Udemy上的“Python深度学习实战”（Deep Learning with Python）：通过实际项目介绍了如何使用Python和Keras进行深度学习开发。

7.1.3 技术博客和网站

• Medium：是一个技术博客平台，有许多AI领域的专家分享最新的研究成果和技术经验。
• Towards Data Science：专注于数据科学和机器学习领域的技术博客，提供了大量的教程和案例分析。
• ArXiv：是一个预印本服务器，提供了许多AI领域的最新研究论文。

7.2 开发工具框架推荐

7.2.1 IDE和编辑器

• PyCharm：是一款专业的Python集成开发环境（IDE），提供了丰富的代码编辑、调试和项目管理功能。
• Jupyter Notebook：是一个交互式的开发环境，适合进行数据探索、模型训练和可视化等工作。
• Visual Studio Code：是一款轻量级的代码编辑器，支持多种编程语言和插件，可用于AI开发。

7.2.2 调试和性能分析工具

• TensorBoard：是TensorFlow的可视化工具，可用于监控模型的训练过程、可视化模型结构和分析性能指标。
• PyTorch Profiler：是PyTorch的性能分析工具，可用于分析模型的运行时间、内存使用等情况。
• NVIDIA Nsight Systems：是NVIDIA提供的性能分析工具，可用于分析GPU加速的AI模型的性能。

7.2.3 相关框架和库

• PyTorch：是一个开源的深度学习框架，提供了丰富的神经网络模块和优化算法，易于使用和扩展。
• TensorFlow：是一个广泛使用的深度学习框架，提供了高效的分布式训练和部署能力。
• Scikit-learn：是一个简单易用的机器学习库，提供了各种机器学习算法和工具，如数据预处理、模型选择和评估等。

7.3 相关论文著作推荐

7.3.1 经典论文

• “Gradient-Based Learning Applied to Document Recognition”：由Yann LeCun等人撰写，介绍了卷积神经网络（CNN）在手写数字识别中的应用，是CNN领域的经典论文。
• “Long Short-Term Memory”：由Sepp Hochreiter和Jürgen Schmidhuber撰写，介绍了长短期记忆网络（LSTM）的原理和应用，是RNN领域的经典论文。
• “Support-Vector Networks”：由Corinna Cortes和Vladimir Vapnik撰写，介绍了支持向量机（SVM）的原理和应用，是机器学习领域的经典论文。

7.3.2 最新研究成果

• 关注顶级AI会议如NeurIPS、ICML、CVPR等的论文，这些会议展示了AI领域的最新研究成果和技术趋势。
• 关注知名学术期刊如Journal of Artificial Intelligence Research（JAIR）、Artificial Intelligence等的论文，这些期刊发表了许多高质量的AI研究论文。

7.3.3 应用案例分析

• 许多科技公司和研究机构会发布AI应用案例分析报告，如Google、Microsoft、Facebook等。这些报告可以帮助我们了解AI技术在实际应用中的挑战和解决方案。

8. 总结：未来发展趋势与挑战

未来发展趋势

• 多模态融合：未来的AI模型将更加注重多模态数据的融合，如图像、语音、文本等。在处理多模态数据时，噪声的形式和影响也会更加复杂，因此需要研究如何提高模型在多模态噪声环境下的鲁棒性。
• 自适应鲁棒性：开发能够自适应调整鲁棒性策略的AI模型，根据不同的噪声环境和任务需求，自动选择合适的鲁棒性方法。
• 量子计算助力：随着量子计算技术的发展，可能会为解决AI模型在处理噪声数据时的鲁棒性问题提供新的思路和方法。

挑战

• 噪声多样性：现实世界中的噪声具有多样性，包括不同类型、不同强度和不同分布的噪声。如何有效地处理这些多样化的噪声是一个挑战。
• 计算资源限制：提高模型的鲁棒性通常需要增加计算复杂度，这可能会受到计算资源的限制。如何在有限的计算资源下提高模型的鲁棒性是一个亟待解决的问题。
• 对抗攻击：除了自然噪声，AI模型还面临着对抗攻击的威胁。对抗攻击是指攻击者故意构造恶意样本，使模型产生错误的预测。如何提高模型对对抗攻击的鲁棒性是一个重要的研究方向。

9. 附录：常见问题与解答

问题1：如何选择合适的正则化方法？

解答：L1正则化适用于特征选择，能够使部分参数变为零，从而减少特征的数量。L2正则化适用于防止过拟合，能够使参数值变小，避免模型过于复杂。在实际应用中，可以根据具体的问题和数据特点选择合适的正则化方法，也可以尝试同时使用两种正则化方法。

问题2：对抗训练对模型性能有什么影响？

解答：对抗训练可以提高模型对对抗样本的鲁棒性，但可能会降低模型在正常样本上的性能。这是因为对抗训练会使模型学习到更具鲁棒性的特征，但这些特征可能在正常样本上的表达能力不如原始特征。因此，在使用对抗训练时，需要权衡模型的鲁棒性和正常性能。

问题3：如何评估模型在噪声数据下的鲁棒性？

解答：可以使用准确率、召回率、F1值等指标评估模型在噪声数据下的性能。此外，还可以通过引入对抗样本进行测试，评估模型对恶意扰动的抵抗能力。同时，可以观察模型在不同噪声强度和类型下的性能变化，分析模型的鲁棒性。

10. 扩展阅读 & 参考资料

扩展阅读

• 《人工智能：现代方法》（Artificial Intelligence: A Modern Approach）：全面介绍了人工智能的基本概念、算法和应用，是人工智能领域的经典教材。
• 《强化学习：原理与Python实现》（Reinforcement Learning: Principles and Python Implementation）：介绍了强化学习的基本原理和算法，并通过Python代码实现了多个强化学习案例。
• 《生成对抗网络实战》（GANs in Action）：介绍了生成对抗网络（GAN）的原理和应用，通过实际项目展示了如何使用GAN生成图像、文本等数据。

参考资料

• Goodfellow, I. J., Bengio, Y., & Courville, A. (2016). Deep Learning. MIT Press.
• Raschka, S., & Mirjalili, V. (2017). Python Machine Learning. Packt Publishing.
• Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer.
• LeCun, Y., Bottou, L., Bengio, Y., & Haffner, P. (1998). Gradient-Based Learning Applied to Document Recognition. Proceedings of the IEEE, 86(11), 2278-2324.
• Hochreiter, S., & Schmidhuber, J. (1997). Long Short-Term Memory. Neural Computation, 9(8), 1735-1780.
• Cortes, C., & Vapnik, V. (1995). Support-Vector Networks. Machine Learning, 20(3), 273-297.