以下文章来源于人工智能研究学会，作者熊墨淼

原文链接：

神经流形模型与Transformer

Society of Artificial Intelligence Research

http://www.opensair.org

Technique Report 36

Neural Manifold Models Transformer

Society of Artificial Intelligence ResearchDepartment of Biostatistics and Data ScienceUniversity of Texas, School of Public Health

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Contents

Field Theory as a Mathematical Framework to Formulate Transformers.

Conceptual Framework

Basic Formula

Hamiltonian Mechanics for Modeling Transformer and Neural Manifold

How the Hamiltonian Framework is Applied

Basic Formula

Applications

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1. 场论：构建Transformer的数学框架

• 概念框架

• 基本公式

2. 哈密顿力学：用于建模Transformer和神经流形

• 哈密顿框架的应用方法

• 基本公式

• 应用领域

网址：http://www.opensair.org

模仿大脑的变压器

　　人的大脑的认知过程尚不十分清楚。目前我们所知道的是认知所涉及的大脑区域。我们能测量大脑的成千上万的神经元的活动，如通过EEG、fMRA等。这些数据是高维数据，但人 们发现这些数据是受低维的流形支配的。 前些年广泛应用的变压器是建立在欧氏空间上来的。但是大脑的认知过程是神经微分流形上进行的。人工智能的推理要模拟人的大脑的过程就要重新把变压器变换在微分流行上，要适应物理和生物的现实。而哈密顿方程在十九世纪和二十世纪是研究物理过程的强有力 的工具。Society of Artificial Intelligence Research Technique Report 36本博文介绍如何用场论和哈密尔顿方程，模拟人的大脑来研究变压器，来发展人 工智能的推理过程。这是当下人工智能热门的研究领域之一。

1. 场论：构建Transformer的数学框架

近期研究探索使用场论作为构建Transformer的数学框架。这种方法将Transformer中的离散词元视为在连续流形上定义的连续物理场的样本，并通过这些场的动力学来建模信息流。

概念框架

该框架的核心思想是：

• 流形嵌入：将词元位置从离散索引映射到选定流形 MM 上的连续坐标（例如球面用于全局一致性，双曲空间用于层次结构）。

• 物理场：将隐藏表征视为网络特定层 tt 中，在位置 𝑥 ∈ M上的场值u(𝑥,𝑡) u(x,t) 。

• 场动力学（信息流）：自注意力机制等操作被解释为核积分算子或微分方程，控制这些场在层间的演化或相互作用。

基本公式

　　该方法的中心是使用核积分算子来描述流形M上所有位置X'的信息如何影响下一层中特定位置 X的场值。一个Transformer层的连续版本操作可类比为对场u的核积分：

公式说明：

此框架使研究人员能应用物理场论和微分几何中的成熟工具，分析Transformer的稳定性、收敛性和长期行为。

2. 哈密顿力学：用于建模Transformer和神经流形

当Transformer被表述为神经流形上的场论时，哈密顿力学可用于研究其场动力学。该方法提供了一个强大的几何框架，尤其适用于具有守恒量和对称性的系统。

哈密顿框架的应用方法

在标准哈密顿力学中，系统的动力学由单一函数——哈密顿量 H(代表总能量）定义在辛流形上。对于Transformer的连续场表述，这被扩展到哈密顿场论：

构型空间：流形M上的场构型∅(𝑥, 𝑡) （类似于词元嵌入）。

共轭动量：引入共轭动量场𝜋(𝑥,𝑡)，描述场构型的变化率。

哈密顿量：哈密顿量是场与其动量的泛函H(∅,𝜋),概括了整个系统的动力学。

哈密顿方程：场在层间的演化由哈密顿方程控制，这是关于场及其动量的一阶偏微分方程。

基本公式

应用领域

• 分析守恒定律：通过诺特定理，Transformer信息流的对称性可与守恒量相关联。

• 确保可逆性：哈密顿系统本质上是时间可逆且能量守恒的，这可为神经网络建模提供有用的归纳偏置。

• 使用辛积分：尊重流形辛结构的数值求解器能更准确、稳定地模拟逐层演化。

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关键名词解释与学习定位

术语	通俗解释	在AI中的意义	学习阶段建议
流形	一个局部像欧几里得空间，但整体可能弯曲的高维空间。想象地球表面（二维流形）在三维空间中弯曲。	用于理解高维数据（如图像、文本）的内在低维结构。	中级-高级（先掌握线性代数）
微分几何	研究流形上曲线、曲面和空间的数学分支，关注曲率、距离等概念。	AI模型内部表征空间的“形状分析工具”，用于可解释性和优化。	高级（需先修微积分和线性代数）
场论	物理学中描述空间中每一点物理量（如温度、电场）连续分布的理论。	将离散的神经网络层视为连续场，用物理方程建模信息传播。	高级-前沿（物理+AI交叉）
哈密顿力学	描述物理系统演化的经典力学框架，强调能量守恒和几何结构。	为神经网络提供可逆、能量保持的动力学模型，适合模拟长期依赖和稳定学习。	高级-前沿（理论物理+AI交叉）
神经微分流形	将神经网络（如Transformer）的权重或激活空间视为一个可学习的微分流形。	使模型具备几何记忆、结构化推理和物理一致性。	前沿研究（当前热门方向）
Transformer	一种基于自注意力机制的神经网络架构，是当前大语言模型（如GPT）的核心。	你必须掌握的核心模型，是现代AI的基石。	初级-中级（入门后立即学习）

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