考虑两个独立的随机向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，这两个向量的长度均为$d$，并且都取自均值为零、方差为单位方差的高斯分布$N(\cdot \mid 0,\mathbf{I})$。证明${\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{b}$的方差由$d$给出。

已知：
$$\mathbf{a},\mathbf{b}\in R^d,\mathbf{a}\sim N(0,\mathbf{I}),\mathbf{b}\sim N(0,\mathbf{I}),\mathbf{a}\text{ 与 }\mathbf{b}\text{ 独立}.$$
证明：
$$\mathrm{Var}({\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{b})=d.$$

令
$$X={\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{b}=\sum _{i=1}^d{a}_i{b}_i.$$
方差公式
$$\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X]{)}^2=E[X^2].$$
期望的计算
$$E[X]=\sum _{i=1}^{d}E[a_i{b}_i]=\sum _{i=1}^{d}E[a_i]E[b_i]=0.$$

因为$a_i$与$b_i$独立且每个均值为 0。

$E[X^2]$的计算

$$X^2=\sum _{i=1}^d\sum _{j=1}^d{a}_i{b}_i{a}_j{b}_j.$$

取期望：
$$E[X^2]=\sum _{i=1}^d\sum _{j=1}^{d}E[a_i{a}_j{b}_i{b}_j].$$

由于$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$独立，
$$E[a_i{a}_j{b}_i{b}_j]=E[a_i{a}_j]\cdot E[b_i{b}_j].$$

对于标准正态分布：
$$E[a_i{a}_j]={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}.$$
同样地，$E[b_i{b}_j]={\delta }_{ij}$。

因此
$$E[a_i{a}_j]\cdot E[b_i{b}_j]={\delta }_{ij}\cdot {\delta }_{ij}={\delta }_{ij}.$$
求和
$$E[X^2]=\sum _{i=1}^d\sum _{j=1}^d{\delta }_{ij}=\sum _{i=1}^{d}1=d.$$

所以：
$$\mathrm{Var}(X)=E[X^2]=d.$$

结论

$$\boxed{d}$$
即：
$$\mathrm{Var}({\mathbf{a}}^{\top }\mathbf{b})=d.$$