2025APMCM亚太杯数学建模竞赛题B高质量成品论文和代码（11月比赛）

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基于启发式算法的光谱-结构自适应协同优化模型

摘要

被动日间辐射冷却（PDRC）技术因其零能耗冷却特性，在建筑节能、电子热管理等领域展现出巨大潜力，然而其大规模应用仍面临光谱调控精度不足、结构设计复杂性高以及经济可行性难以平衡等挑战。为此，本文构建了一套融合光学理论、热力学平衡与多目标优化的完整数学建模体系，实现了从材料基础特性到工程化应用的系统性设计与评估。

针对问题一，基于薄膜光学理论，建立了PDMS薄膜的光谱发射率精确计算模型。通过引入传输矩阵方法，结合从权威数据库获取的复折射率数据，系统分析了不同厚度（0.1–50 μm）下PDMS薄膜的反射率与发射率光谱特性。研究发现，薄膜干涉效应显著影响8–13 μm大气窗口波段的发射行为，最优厚度0.10 μm下平均发射率达0.0257，为后续结构设计提供了关键光学参数与理论依据。

针对问题二，构建了基于能量平衡的辐射冷却性能评价模型。通过整合普朗克辐射定律、AM1.5太阳光谱与大气辐射模型，提出以净冷却功率和平衡温度为综合评价指标。数值模拟表明，1.0 μm厚度PDMS薄膜在环境温度下净冷却功率为3917.65 W/m²，平衡温度低于环境温度116.23 K。进一步提出分级应用策略：建筑节能推荐10 μm厚膜以获取高功率，可穿戴设备推荐1–5 μm柔性薄膜。

针对问题三，提出了一种基于遗传算法的多层膜结构协同优化方法。以净冷却功率最大化为目标，联合优化材料组合（Ag、PDMS、SiN等）与各层厚度，成功设计出四层最优结构（Ag/Ag/PDMS/SiN）。优化结果显示，多层结构净冷却功率达17413.44 W/m²，较单层PDMS提升52.5%，实现了大气窗口内高发射与太阳光谱内高反射的理想光谱形态。

针对问题四，建立了性能-成本-可行性协同优化的多目标决策框架。采用NSGA-II算法求解净冷却功率最大化与总成本最小化的双目标问题，获得完整的帕累托前沿。推荐膝点方案（PDMS/ZnS/SiO₂/Ag）以28.8 W/m²冷却功率与52.6 $/m²成本实现最佳权衡，可行性评分为85/100。进一步提出三阶段产业化路径：短期推广建筑涂层，中期拓展至光伏冷却，长期开发智能响应材料。

本研究提出的“光谱-结构自适应协同优化模型”在理论与应用层面均具有显著创新性，不仅为辐射冷却材料设计提供了科学的量化工具，也为其商业化推广提供了可行的技术路径与经济评估框架。

关键词：辐射冷却；传输矩阵法；遗传算法；NSGA-II模型；多目标优化；光谱选择性发射

一、问题重述

随着全球工业化与人口增长的持续推进，能源消耗持续攀升。尽管太阳能、风能及核能等清洁能源的供应比例有所提升，但石油及其他液体燃料仍是全球最大的能源来源，这导致城市热岛效应与温室效应日益加剧。与其他冷却技术相比，辐射冷却无需能量输入，同时能够降低总体能源消耗，形成节能的良性循环。然而，辐射冷却技术在大规模实际应用中仍面临诸多挑战，主要包括材料光谱发射特性的优化、复杂的制造工艺以及高昂的生产成本。材料折射率信息可通过相关网站（如https://refractiveindex.info/）获取。

图1-1 问题背景

在此背景下，本题要求我们通过建立数学模型，系统解决以下四个关键问题：

问题一：PDMS薄膜发射率建模。建立合适的数学模型，研究PDMS薄膜的发射率随波长变化的关系，并分析不同薄膜厚度对发射率的影响。

问题二：辐射冷却性能评估。建立合适的评价模型，评估不同厚度PDMS薄膜的辐射冷却性能，并基于研究结果，为辐射冷却技术的发展与应用提供相关建议。

问题三：多层膜结构优化设计。选择合适的材料与PDMS构成多层膜结构，结合优化设计算法，对多层结构中的材料选择及各层厚度进行优化。

问题四：全面优化与可行性分析。对辐射冷却材料与结构进行综合优化设计，以实现最佳的辐射冷却性能，并对所得辐射冷却产品的可行性与成本进行评估。

通过解决上述问题，我们旨在构建一套从材料特性建模、性能评估到结构优化与可行性分析的完整数学建模体系，为辐射冷却技术的实际应用与推广提供科学依据和解决方案

二、问题分析

2.1 问题一分析

问题一要求建立PDMS薄膜发射率随波长和厚度变化的数学模型。发射率是材料在热辐射过程中的关键属性，取决于材料的复折射率和厚度。PDMS的复折射率随波长变化，可从参考网站获取数据。对于薄膜结构，发射率可通过反射率和透射率计算，由于衬底在红外波段通常不透明，透射率可忽略，因此发射率近似为1减去反射率。反射率的计算涉及薄膜光学理论，特别是传输矩阵方法，考虑垂直入射条件以简化模型。这里假设PDMS薄膜涂覆在铝衬底上，铝在红外波段具有高反射率，从而聚焦于PDMS薄膜本身的影响。

2.2 问题二分析

问题二要求评估不同厚度PDMS薄膜的辐射冷却性能。性能评估基于净冷却功率，即辐射器向太空辐射的功率减去从环境吸收的功率（包括大气辐射和太阳能吸收）。净冷却功率取决于发射率光谱、环境温度、太阳辐照度和大气发射率。通过积分黑体辐射和太阳光谱，计算净冷却功率作为厚度函数。同时，可计算平衡温度（净冷却功率为零时的温度）作为性能指标。基于结果，可给出厚度优化建议和技术应用推荐。

2.3 问题三分析

问题三要求选择材料与PDMS形成多层膜结构，并优化材料选择和层厚。多层结构可增强大气窗口内的发射率，同时保持可见光波段的高反射率。候选材料包括介质（如SiO₂、SiN）和金属（如Ag、Al），通过组合不同光学性质的材料实现光谱调控。优化目标为最大化净冷却功率，变量为每层材料和厚度。由于材料选择是离散的，优化问题属于混合整数非线性规划，采用遗传算法等全局优化方法。

2.4 问题四分析

问题四要求全面优化辐射冷却材料和结构，实现最佳性能，并评估可行性和成本。在问题三基础上，扩展优化包括衬底选择和结构设计（如光子晶体或随机结构）。目标同时考虑性能（净冷却功率）和成本（材料与制备费用）。可行性涉及制备难度和稳定性。使用多目标优化平衡性能与成本。