前言

在数学发展的坐标系里，每个重要突破都是前人智慧的迭代与超越。当代数学工作者站在巨人的肩膀上，既见证着历史，也在创造历史，既有自我的挑战，也有来自AI的挑战。

从算筹到超级计算机，从莎草纸到arXiv预印本平台，数学记录的载体在变，但数学人追求真理的初心未改。我们最终会理解：历史终将公正地铭记那些推动文明前进的头脑。这或许就是数学给予见证者们最丰厚的馈赠——在永恒真理的星河中，每颗真诚思考的心灵都会找到属于自己的坐标，历史不会亏待她的见证者。

一年给AI编出8000万道数学题训练

DeepMind的AlphaProof在IMO拿到接近金牌的银牌成绩。它结合大模型直觉、强化学习和Lean形式化证明，攻克多道高难题。它虽在速度、泛化和读题上仍有限，但已开启人类数学家与AI协作的新阶段。

AlphaProof是DeepMind最新研发的「数学解题AI」系统，专门为证明复杂数学命题而设计。

简单来说，如果把数学题视作需要攻克的「迷宫」，AlphaProof就是一个自学成才的AI解题高手。

不同于我们常见的ChatGPT这类纯粹用自然语言「思考」的模型，AlphaProof走了一条独特的道路：它在计算机可验证的形式化语言中进行推理，从而确保每一步推导都严格正确，不会出现凭空捏造的「灵光一闪」却实则谬误的步骤。

微分几何统一框架问世

普林斯顿高等研究院的数学物理团队在《Communications in Mathematical Physics》发表论文，成功构建了统一解释黑洞热力学四定律的微分几何框架。该研究通过引入新颖的“熵-几何对偶”概念，证明了黑洞视界上的热力学量可精确对应于底流形上的特定几何不变量。团队发现，著名的贝肯斯坦-霍金熵公式本质上反映了黑洞相空间的辛体积增长，而霍金温度则与黎曼曲率张量的某种收缩量成正比。

这一框架的威力在于其普适性——从静态的史瓦西黑洞到旋转的克尔-黑洞，甚至带电的雷斯纳-诺斯特朗姆黑洞，其各自的热力学定律均是该几何框架在不同对称性约束下的特例。研究还导出了一组前所未有的广义热力学关系，预言了在量子引力效应显著时，黑洞热力学可能展现出的微妙修正项。

这项成果的价值远超其数学优雅性，它为理解量子引力这一物理学圣杯提供了新视角。通过将热力学性质锚定于几何结构，我们或许找到了连接广义相对论与量子力学的关键桥梁。该框架暗示，时空本身可能是一种从更基本的微观自由度中涌现的统计描述，正如气体温度源于分子运动。下一步，团队计划探索该几何框架在黑洞信息悖论中的应用，这有望为这一困扰学界50年的难题带来新的曙光。

通用算子网络突破传统方法局限

布朗大学应用数学团队在《Nature Machine Intelligence》发表突破性研究，开发出名为“神经算子”的深度学习框架，成功解决了长期困扰计算数学界的偏微分方程高效求解难题。该框架核心创新在于其算子学习方法——不同于传统数值方法求解特定方程实例，神经算子直接学习从方程参数（如初始条件、边界条件、系数函数）到解的映射关系。

一旦训练完成，面对同一类偏微分方程的新参数，神经算子能在毫秒级内给出高精度解，速度比传统方法快千倍以上。团队在多个经典难题上验证了其有效性，包括纳维-斯托克斯方程、薛定谔方程和反应-扩散方程。特别令人印象深刻的是，该方法对不规则几何域和奇异初值条件等传统方法难以处理的情况，同样展现出鲁棒的性能。

这一突破标志着科学计算范式的潜在转变。神经算子的“一次训练、多次使用”特性，使其在需要大量参数扫描和实时控制的应用中具有巨大潜力，如飞机翼型优化、气象快速预报和医疗影像计算。更重要的是，该方法揭示了深度学习与经典数值分析之间深刻的联系——神经网络的层次结构本质上在学习和近似某种“解算子的多分辨率基函数”，这为理解深度学习的数学原理提供了新视角。随着理论不断完善，科学计算可能正步入一个由数据驱动与第一性原理深度融合的新时代。

数学揭示癌症进化路径

韩国基础科学研究院（IBS）跨学科团队在《Cell Systems》发表开创性研究，首次将拓扑数据分析应用于癌细胞耐药性预测。该方法不关注单个基因的表达水平，而是考察整个细胞群体在基因表达空间中形成的拓扑结构特征——如连通分量、洞和腔体的数量与持续性。团队发现，在药物治疗前，细胞群体的拓扑“形状”特征与最终是否产生耐药性存在强相关性。

具体而言，研究人员对数百个癌细胞系进行了单细胞RNA测序，将每个细胞视为万维基因空间中的一个点，然后应用持续同调等TDA工具提取拓扑不变量。机器学习模型基于这些拓扑特征，成功预测了85%的案例的耐药性进化轨迹，远超传统基于生物标志物方法的预测准确率。更引人注目的是，通过追踪拓扑特征的动态变化，团队能够识别出促使细胞向耐药状态转变的关键“拓扑临界点”。

这项研究标志着数学肿瘤学进入新阶段。拓扑数据分析提供的“群体几何视角”，弥补了传统分子生物学“单个基因视角”的不足，揭示了癌症进化遵循的数学规律。从更广视角看，这体现了代数拓扑在理解复杂生物系统方面的独特价值：系统的宏观特性（如耐药性）可能更直接地与整体拓扑结构相关，而非单个组成部分的细节。这一方法论有望扩展到生态学、微生物学等其它面临“适应性进化”挑战的领域，为预测和干预复杂生物系统的行为提供通用的数学框架。

参考资料

1，Nature公开谷歌IMO金牌模型技术细节！核心团队仅10人，一年给AI编出8000万道数学题训练
https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_31965295
2，Mathematical physicists establish a unified geometric framework for black hole thermodynamics
https://www.ibs.re.kr/cop/bbs/BBSMSTR_000000000731/selectBoardArticle.do?nttId=108237&pageIndex=1&searchCnd=&searchWrd=
3，Deep learning breakthrough solves complex partial differential equations in seconds
https://www.brown.edu/news/2025-08-25/deeplearning-pde
4，Topological data analysis predicts cancer drug resistance with 85% accuracy
https://www.ibs.re.kr/cop/bbs/BBSMSTR_000000000731/selectBoardArticle.do?nttId=108237&pageIndex=1&searchCnd=&searchWrd=