背景知识：
1.线性变换的性质
2.标准正交基的几种等价形式
3.线性变换与矩阵的关系

定理表述

对欧式空间 $V^n$ 上的线性变换，下列条件等价：

1. $T$ 是正交变换
2. $T$ 保持向量长度不变，即：$\forall \alpha \in V^n$，$|T\alpha |=|\alpha |$
3. $T$ 将标准正交基映射为标准正交基
4. $T$ 在标准正交基下的矩阵为正交矩阵

$A$ 为正交阵，当且仅当 $A{A}^{\mathrm{T}}=I$ 或 $A^{\mathrm{T}}A=I$。

证明

设 $V_n$ 是 $n$ 维欧几里得空间，$⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 表示内积，$|\cdot |$ 表示由 $|\alpha |=\sqrt{⟨\alpha ,\alpha ⟩}$ 定义的范数。设 $T$ 是 $V_n$ 上的线性变换。

下面证明四个条件的等价性（采用循环证明法：$1\Rightarrow 2\Rightarrow 3\Rightarrow 4\Rightarrow 1$）。

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$1\Rightarrow 2$：正交变换保持向量长度

假设 $T$ 是正交变换，即对任意 $\alpha ,\beta \in V_n$，有
$$⟨T\alpha ,T\beta ⟩=⟨\alpha ,\beta ⟩$$

特别地，取 $\beta =\alpha$，则
$$|T\alpha {|}^2=⟨T\alpha ,T\alpha ⟩=⟨\alpha ,\alpha ⟩=|\alpha {|}^2$$
因此 $|T\alpha |=|\alpha |$，即 $T$ 保持向量长度不变。

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$2\Rightarrow 3$：保长变换将标准正交基映射为标准正交基

假设 $T$ 保持向量长度不变，即 $|T\alpha |=|\alpha |$ 对所有 $\alpha \in V_n$ 成立。

第一步：证明 $T$ 保持内积不变(正交变换)

对任意 $\alpha ,\beta \in V_n$，考虑
$$|\alpha +\beta {|}^2=|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2+2⟨\alpha ,\beta ⟩$$

由 $T$ 的线性性及保长性，有
$$|T(\alpha +\beta ){|}^2=|T\alpha +T\beta {|}^2=|T\alpha {|}^2+|T\beta {|}^2+2⟨T\alpha ,T\beta ⟩$$
第一个等号利用了 $T$ 是线性变换的性质。

因为 $|T(\alpha +\beta )|=|\alpha +\beta |$ 两个式子相等。
又 $|T\alpha |=|\alpha |$，$|T\beta |=|\beta |$，比较两式可得
$$⟨\alpha ,\beta ⟩=⟨T\alpha ,T\beta ⟩$$
即 $T$ 保持内积不变。

第二步：证明 $T$ 映射的标准正交基也是标准正交基

设 {e1,e2,…,en}\{e_1,e_2,\dots,e_n\}{e1​,e2​,…,en​} 是 $V_n$ 的一组标准正交基，即
$$⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$$

由 $T$ 保持内积，有
$$⟨T{e}_i,T{e}_j⟩=⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}$$
因此 {Te1,Te2,…,Ten}\{Te_1,Te_2,\dots,Te_n\}{Te1​,Te2​,…,Ten​} 也是标准正交基。

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$3\Rightarrow 4$：标准正交基的像对应正交矩阵

假设 {e1,e2,…,en}\{e_1,e_2,\dots,e_n\}{e1​,e2​,…,en​} 和 {Te1,Te2,…,Ten}\{Te_1,Te_2,\dots,Te_n\}{Te1​,Te2​,…,Ten​} 都是标准正交基。

设 $T$ 在基 {ei}\{e_i\}{ei​} 下的矩阵为 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，即其中每一列可表示为
$$T{e}_j=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{e}_i,j=1,2,\dots ,n$$

计算内积（利用 {ei}\{e_i\}{ei​} 的标准正交性）：
$$\begin{array}{rl}⟨T{e}_i,T{e}_j⟩& =⟨\sum _{k=1}^n{a}_{ki}{e}_k,\sum _{l=1}^n{a}_{lj}{e}_l⟩\\ & =\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^n{a}_{ki}{a}_{lj}⟨e_k,e_l⟩\\ & =\sum _{k=1}^n{a}_{ki}{a}_{kj}\end{array}$$

因为 {Tei}\{Te_i\}{Tei​} 也是标准正交基，$⟨T{e}_i,T{e}_j⟩={\delta }_{ij}$，所以
$$\sum _{k=1}^n{a}_{ki}{a}_{kj}={\delta }_{ij}$$

这正是 $A^{T}A=I_n$ 的矩阵元素形式，因此 $A$ 是正交矩阵。

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$4\Rightarrow 1$：标准正交基下的正交矩阵对应正交变换

假设 $T$ 在标准正交基 {e1,e2,…,en}\{e_1,e_2,\dots,e_n\}{e1​,e2​,…,en​} 下的矩阵 $A$ 是正交矩阵，即 $A^{T}A=I_n$。

对任意向量 $\alpha ,\beta \in V_n$，设其坐标向量分别为
$$x=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T,y=(y_1,y_2,\dots ,y_n{)}^T$$
即
$$\alpha =\sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i,\beta =\sum _{i=1}^n{y}_i{e}_i$$

则 $T\alpha$ 和 $T\beta$ 的坐标向量分别为 $Ax$ 和 $Ay$。

要证明 $T$ 是正交变换，只需证
$$⟨T\alpha ,T\beta ⟩=⟨\alpha ,\beta ⟩$$

等式左边
$$\begin{array}{rl}⟨T\alpha ,T\beta ⟩& =(Ax{)}^T(Ay)\\ & =x^T(A^{T}A)y\\ & =x^T{I}_{n}y\\ & =x^{T}y\end{array}$$

等式右边，在标准正交基下，内积运算满足
$$⟨\alpha ,\beta ⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x^{T}y$$

证毕

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结论

通过循环证明法，我们已证明：
$$1\Rightarrow 2\Rightarrow 3\Rightarrow 4\Rightarrow 1$$

即这四个条件在 $n$ 维欧几里得空间 $V_n$ 的线性变换 $T$ 上等价。